Если далее принять, что эта поверхность ограничена линиями пересечения с двумя плоскостями, проходящими через ось и наклонёнными друг к другу под углом, стягиваемым дугой, равной половине радиуса, то индукция через ограниченную таким образом поверхность равна
1
2
𝑒(1-cos θ)=Φ
и
θ=arccos(1-2Φ/𝑒)
.
Придавая Φ значения 1, 2, 3 …𝑒 мы найдём соответствующую последовательность значений θ и при целом 𝑒 число соответствующих силовых линий, считая и ось, будет равно 𝑒.
Таким образом, мы имеем метод построения силовых линий, при котором заряд любого силового центра показан числом выходящих из него линий, а индукция через любую поверхность, вырезаемую указанным способом, измеряется числом силовых линий, проходящих через неё. Пунктирные прямые в левой части рис. 5 изображают силовые линии, соответствующие каждому точечному заряду при зарядах 10 и -10 соответственно.
Если на оси рисунка расположены два силовых центра, можно построить силовые линии для каждого центра, соответствующие значениям Φ1 и Φ2. Проведя затем линии через последовательные точки пересечения этих линий, для которых Φ1+Φ2 имеют одно и то же значение, мы можем найти силовую линию, обусловленную обоими центрами. Таким же способом можно скомбинировать любые две системы силовых линий, симметрично расположенные относительно одной и той же оси. Сплошные кривые в левой части на рис. 5 изображают силовые линии, обусловленные одновременным действием двух заряженных центров.
Построив этим методом эквипотенциальные поверхности и силовые линии, можно проверить точность построения, установив, ортогональны ли всюду обе системы кривых и относятся ли расстояния между соседними эквипотенциальными поверхностями к расстоянию между соседними силовыми линиями как половина среднего расстояния от оси относится к принятой единице длины.
Для любой такой системы конечных размеров силовая линия, индекс Φ которой меньше 𝑒, имеет асимптоту, проходящую через электрический центр (п. 89 г) системы и наклонённую к оси под углом, косинус которого равен 1-2Φ/𝑒, где 𝑒, - полный заряд системы, если только Φ меньше 𝑒. Силовые линии, для которых индекс больше 𝑒, являются конечными. Если 𝑒 равно нулю, то все линии конечны.
Силовые линии, соответствующие однородному полю силы, параллельному оси, представляют собой прямые линии, параллельные этой оси, расстояние которых от оси равно квадратному корню из чисел, образующих арифметическую прогрессию.
Теория эквипотенциальных поверхностей и силовых линий для двух измерений будет дана ниже, когда мы перейдём к теории сопряжённых функций 1.
1 См. статью проф. У. Р. Смита «О потоке электричества в проводящих поверхностях» В Proc. R. S. Edin., 1869-70, р. 79.
ГЛАВА VIII
ПРОСТЫЕ СЛУЧАИ ЭЛЕКТРИЗАЦИИ
Две параллельные плоскости
124. Рассмотрим прежде всего две параллельные проводящие бесконечно простирающиеся плоскости на расстоянии 𝑐 друг от друга, находящиеся соответственно под потенциалами 𝐴 и 𝐵.
Очевидно, что в этом случае потенциал 𝑉 будет функцией от расстояния 𝑧 до плоскости 𝐴 и будет одинаков для всех точек любой плоскости, параллельной 𝐴 и 𝐵 и расположенной между ними, за исключением точек вблизи краёв заряженных поверхностей, которые, по предположению, находятся на бесконечно большом расстоянии от рассматриваемой точки.
Таким образом, уравнение Лапласа сводится к уравнению 𝑑²𝑉/𝑑𝑧²=0, интеграл которого 𝑉=𝐶1+𝐶2𝑧, а поскольку 𝑉=𝐴 при 𝑧=0 и 𝑉=𝐵 при 𝑧=𝑐, то 𝑉=𝐴+(𝐵-𝐴)𝑧/𝑐.
Для всех точек между плоскостями напряжённость перпендикулярна плоскостям и величина её равна 𝑅=(𝐴-𝐵)/𝑐.
В самой толще проводников 𝑅=0. Следовательно, распределение электричества на первой плоскости имеет поверхностную плотность σ, где 4πσ=𝑅=(𝐴-𝐵)/𝑐.
На другой поверхности, на которой потенциал равен 𝐵, поверхностная плотность σ' равна и противоположна по знаку σ: 4πσ'=-𝑅=(𝐴-𝐵)/𝑐.
Рассмотрим теперь участок первой поверхности площади 𝑆 выбранный так, что никакая часть 𝑆 не находится вблизи границы поверхности.
Количество электричества на этой поверхности 𝑒1𝑆σ и, согласно п. 79, действующая на единицу электричества сила равна 𝑅/2 так что полная сила, действующая на площадку 𝑆 и притягивающая её к другой плоскости, равна
𝐹
=
1
2
𝑅𝑆σ
=
1
8π
𝑅²𝑆
𝑆
8π
(𝐵-𝐴)²
𝑐²
.
Здесь сила притяжения выражена через площадь 𝑆, разность потенциалов обеих поверхностей 𝐴-𝐵 и расстояние между ними 𝑐. Через заряд 𝑒1 и площадь 𝑆 сила притяжения выражается так: 𝐹=2π𝑒1²/𝑆.
Электрическая энергия, обусловленная распределением электричества на площадке 𝑆 и на соответствующей ей площадке 𝑆' поверхности 𝐵, определяемой проектированием 𝑆 на поверхность 𝐵 системой силовых линий, которые в нашем случае перпендикулярны поверхности, равна
𝑊
=
1
2
(𝑒
1
𝐴+𝑒
2
𝐵)
, =
1
2
𝑆
4π
(𝐵-𝐴)²
𝑐²
, =
𝑅²
8π
𝑆𝑒
, =
=
2π
𝑆
𝑒
1
²𝑐
, =
𝐹𝑐
.
Первое из этих выражений представляет собой общее выражение для электрической энергии (п. 84).
Второе выражение представляет энергию через площадь, расстояние и разность потенциалов.
Третье выражение представляет энергию через результирующую силу 𝑅 и объём 𝑆𝑐 заключённый между площадками 𝑆 и 𝑆', и показывает, что в единице объёма заключена энергия 𝑝 где 8π𝑝=𝑅².
Сила притяжения между плоскостями равна 𝑝𝑆 т.е., иными словами, на каждую единицу поверхности действует электрическое натяжение (или отрицательное давление), равное 𝑝.
Четвёртое выражение представляет энергию через заряд.
Пятое выражение показывает, что электрическая энергия равна работе, которую совершила бы электрическая сила, если бы обе поверхности сомкнулись, двигаясь параллельно самим себе при сохранении постоянной величины заряда на них.
Заряд выражается через разность потенциалов соотношением
𝑒
1
=
1
4π
𝑆
𝑐
(𝐴-𝐵)
=
𝑞(𝐴-𝐵)
.
Коэффициент 𝑞 представляет заряд, обусловленный единичной разностью потенциалов. Этот коэффициент называется Ёмкостью поверхности 𝑆 обусловленной её расположением относительно противоположной поверхности.
Предположим теперь, что среда между обеими поверхностями уже не воздух, а какое-либо другое диэлектрическое вещество с удельной индуктивной способностью 𝐾. Тогда заряд, обусловленный заданной разностью потенциалов, будет в 𝐾 раз больше, чем в воздухе, т.е. 𝑒1=𝐾𝑆(𝐴-𝐵)/4π𝑐.
Полная энергия будет равна
𝑊
=
𝐾𝑆
8π𝑐
(𝐴-𝐵)²
=
2π
𝐾𝑆
𝑒
1
²𝑐
,
а сила между поверхностями
𝐹
=
𝑝𝑆
𝐾𝑆
8π
(𝐴-𝐵)²
𝑐²
=
2π
𝐾𝑆
𝑒
1
²
.
Следовательно, сила между двумя поверхностями, поддерживаемыми при заданных потенциалах, меняется пропорционально удельной индуктивной способности диэлектрика 𝐾 а сила между двумя поверхностями с заданными зарядами меняется обратно пропорционально 𝐾.
