В опытах Фарадея пламя можно рассматривать как проводник, связанный с землёй. Влияние диэлектрика выражается в появлении кажущейся электризации на его поверхности. Эта кажущаяся электризация, воздействуя на проводящее пламя, притягивает к себе электричество противоположного знака, распределяющееся по поверхности диэлектрика, тогда как электричество того же знака отталкивается через пламя на землю. Таким образом, на поверхности диэлектрика появляется действительная электризация, компенсирующая влияние кажущейся электризации. При устранении индуцирующей силы кажущаяся электризация исчезает, а действительная электризация остаётся и уже не компенсируется кажущейся.
ГЛАВА III
О РАБОТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИЛ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ
84. О Работе, которую должен совершить внешний агент, чтобы зарядить систему заданным образом.
Работа, затрачиваемая при перенесении количества электричества δ𝑒 с бесконечного расстояния (или из любой точки, где потенциал равен нулю) в данную часть системы с потенциалом 𝑉 равна, по определению (п. 70), 𝑉δ𝑒.
В результате такой операции заряд в данной части системы возрастает на δ𝑒, так что если до этого он был равен 𝑒 его значение становится равным 𝑒+δ𝑒.
Следовательно, работа, совершаемая при заданном изменении зарядов системы, выражается интегралом
𝑊
=
∑
(
∫
𝑉δ𝑒
)
(1)
где суммирование производится по всем частям заряженной системы.
Из выражения для потенциала, приведённого в п. 73, видно, что потенциал в данной точке может рассматриваться как сумма нескольких слагаемых, каждое из которых представляет собой потенциал соответствующей части заряда системы.
Таким образом, если 𝑉 - потенциал в данной точке, обусловленный некоторой системой зарядов, которую мы обозначим ∑(𝑒), а 𝑉' - потенциал в той же точке, обусловленный другой системой зарядов, обозначаемой через ∑(𝑒'), то потенциал в этой точке, обусловленный одновременным наличием обеих систем зарядов, будет 𝑉+𝑉'.
Следовательно, если каждый заряд системы увеличивается в отношении 𝑛 к 1, то и потенциал в любой точке системы также изменяется в отношении 𝑛 к 1.
Поэтому предположим, что внесение заряда в систему происходит следующим образом. Пусть сначала система не заряжена и находится под нулевым потенциалом и пусть все части системы заряжаются одновременно со скоростью, пропорциональной их окончательному заряду.
Так, если 𝑒 - окончательное значение заряда, а 𝑉 - окончательное значение потенциала какой-либо части системы, то если на некотором этапе этого процесса заряд равен 𝑛𝑒 то и потенциал равен 𝑛𝑉, и мы можем описать весь процесс зарядки как непрерывное увеличение 𝑛 от 0 до 1.
Когда 𝑛 меняется от 𝑛 до 𝑛+δ𝑛, каждая часть системы, окончательный заряд которой равен 𝑒, а окончательный потенциал 𝑉 увеличивает свой заряд на 𝑒δ𝑛, а поскольку её потенциал равен 𝑛𝑉 то совершаемая над ней работа равна 𝑒𝑉𝑛δ𝑛.
Отсюда полная работа, совершаемая при зарядке системы, равна
∑
(𝑒𝑉)
1
∫
0
𝑛δ𝑛
=
1
2
∑
(𝑒𝑉)
,
(2)
т.е. полусумме произведений зарядов различных частей системы на соответствующие им потенциалы.
Такова работа, затрачиваемая внешним источником при зарядке системы описанным нами способом, но поскольку система консервативная, то работа, затрачиваемая на приведение системы в это же состояние любым другим способом, будет той же.
Поэтому мы называем величину
𝑊
=
1
2
∑
(𝑒𝑉)
(3)
электрической энергией системы, выраженной через заряды различных частей системы и их потенциалы.
85 а. Предположим теперь, что система переходит из состояния (𝑒,𝑉) в состояние (𝑒',𝑉') таким образом, что различные заряды одновременно изменяются со скоростями, пропорциональными их полному приращению 𝑒'-𝑒.
Если в какой-либо момент заряд определённой части системы равен 𝑒+𝑛(𝑒'-𝑒), то её потенциал равен 𝑉+𝑛(𝑉'-𝑉), а работа, совершенная при изменении заряда этой части системы, равна
1
∫
0
(𝑒'-𝑒)
[𝑉+𝑛(𝑉'-𝑉)]
𝑒𝑛
=
1
2
(𝑒'-𝑒)
(𝑉'+𝑉)
,
так что если 𝑊 - энергия системы в состоянии (𝑒',𝑉'), то
𝑊'-𝑊
=
1
2
∑
(𝑒'-𝑒)
(𝑉'+𝑉)
.
(4)
Но
𝑊
=
1
2
∑
(𝑒,𝑉)
,
и
𝑊'
=
1
2
∑
(𝑒',𝑉')
.
Подставляя эти значения в (4), получим
∑
(𝑒,𝑉')
=
∑
(𝑒',𝑉)
.
Таким образом, если рассмотреть два различных состояния электризации одной и той же заданной системы заряженных проводников, то сумма произведений зарядов в первом состоянии на значения потенциалов соответствующих проводников во втором состоянии равна сумме произведений зарядов во втором состоянии на потенциалы соответствующих проводников в первом состоянии.
Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов.
85 б. Из (4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала:
𝑊'-𝑊
=
1
2
∑
(𝑒'-𝑒)
(𝑉'+𝑉)
.
(6)
Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде
𝑑𝑊
=
∑
(𝑉δ𝑒)
=
∑
(𝑒δ𝑉)
.
(7)
Если обозначить через 𝑊𝑒 и 𝑊𝑉 выражения для 𝑊 соответственно через заряды и через потенциалы системы, а через 𝐴𝑟, 𝑒𝑟, и 𝑉𝑟 - один из проводников системы, его заряд и его потенциал, то
𝑉
𝑟
=
(𝑑𝑊
𝑒
/𝑑𝑒
𝑟
)
,
(8)
𝑒
𝑟
=
(𝑑𝑊
𝑉
/𝑑𝑉
𝑟
)
.
(9)
86. Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через 𝐴𝑡, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника 𝑒𝑡=0 и 𝑒'𝑡=0, так что члены, соответствующие проводнику 𝐴𝑡, отсутствуют в обеих частях равенства (5).
Если какой-либо другой проводник, скажем 𝐴𝑡, имеет нулевой потенциал в обоих состояниях системы, то 𝑉𝑡=0, и 𝑉'𝑡=0, так что соответствующие проводнику 𝐴𝑡 члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).
Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем 𝐴𝑟 и 𝐴𝑠, либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет вид
𝑒
