𝑎
𝑏
ƒ(𝑎+𝑏)-ƒ(𝑎-𝑏)
ƒ(2𝑎)
⎫
⎬
⎭
.
(17)
74 г. Примем теперь вместе с Кавендишем, что сила обратно пропорциональна некоторой степени расстояния, не сильно отличающейся от двойки.
Положим
φ(𝑟)=𝑟
𝑞-2
,
(18)
тогда
ƒ(𝑟)
=
1
1-𝑞²
𝑟
𝑞+1
.
(19)
Если считать 𝑞 малым, то это выражение можно представить по теореме об экспоненте в виде разложения
ƒ(𝑟)
=
1
1-𝑞²
𝑟
⎧
⎨
⎩
1+
𝑞 ln 𝑟+
1
1⋅2
(𝑞 ln 𝑟)²
+…
⎫
⎬
⎭
.
(20)
Если пренебречь членами, содержащими 𝑞² то выражения (16) и (17) примут вид
𝐵
1
=
1
2
𝑎
𝑎-𝑏
𝑉𝑞
⎡
⎢
⎣
ln
4𝑎²
𝑎²-𝑏²
-
𝑎
𝑏
ln
𝑎+𝑏
𝑎-𝑏
⎤
⎥
⎦
,
(21)
𝐵
2
=
1
2
𝑉𝑞
⎡
⎢
⎣
ln
4𝑎²
𝑎²-𝑏²
-
𝑎
𝑏
ln
𝑎+𝑏
𝑎-𝑏
⎤
⎥
⎦
.
(22)
Отсюда можно найти 𝑞 по данным опыта.
74 д. Лаплас первым показал, что никакая функция расстояния, кроме обратно пропорциональной квадрату расстояния, не удовлетворяет условию, что однородная сферическая оболочка не действует на частицу, находящуюся внутри неё 2.
2 Méc. Cél., I, 2.
Если мы примем, что β в выражении (15) всегда равно нулю, мы сможем применить метод Лапласа для нахождения вида ƒ(𝑟) Из (15) следует, что
𝑏ƒ
(2𝑎)
-
𝑎ƒ
(𝑎+𝑏)
+
𝑎ƒ
(𝑎-𝑏)
=0.
Дифференцируя дважды по 𝑏 и деля на 𝑎, получим ƒ''(𝑎+𝑏)=ƒ''(𝑎-𝑏).
Если это равенство выполняется тождественно, то ƒ''(𝑟)=𝐶0=const. Отсюда ƒ'(𝑟)=𝐶0𝑟+𝐶1 и, согласно (1),
∞
∫
𝑟
φ(𝑟)
𝑑𝑟
=
ƒ(𝑟)
𝑟
=
𝐶
0
+
𝐶1
𝑟
,
φ(𝑟)
=
𝐶1
𝑟²
.
Заметим здесь, что хотя предположение Кавендиша о том, что сила меняется как некоторая степень расстояния, представляется менее общим, чем предположение Лапласа, что сила является произвольной функцией расстояния, оно является единственным совместимым с тем фактом, что подобные поверхности могут быть заряжены так, чтобы иметь подобные электрические свойства.
Ибо, если бы сила была функцией расстояния, отличной от степенной, то отношение сил на двух различных расстояниях не было бы функцией отношения расстояний, а зависело бы от абсолютного значения этих расстояний и поэтому содержало бы отношения этих расстояний к абсолютно фиксированной длине.
Фактически Кавендиш сам отмечает, что, согласно его собственной гипотезе о строении электрической жидкости, распределение электричества на двух геометрически подобных проводниках не может быть в точности подобным, если только заряды проводников не пропорциональны объёмам. Действительно, он предполагает, что частицы электрической жидкости плотно спрессованы вблизи поверхности тела, а это эквивалентно предположению о том, что закон взаимодействия не является законом обратных квадратов, и для сильно сблизившихся частиц расталкивание начинает расти значительно быстрее с дальнейшим уменьшением расстояния между ними.
Поверхностный интеграл от электрической индукции и электрическое смещение через поверхность
75. Пусть 𝑅 - результирующая напряжённость в произвольной точке поверхности, а ε - угол, который она образует с нормалью, проведённой к положительной стороне поверхности. Тогда 𝑅 cos ε - составляющая напряжённости по нормали к поверхности, и если 𝑑𝑆 - элемент поверхности, то электрическое смещение через 𝑑𝑆 будет, согласно п. 68, равно (1/4π)𝐾𝑅 cos ε𝑑𝑆. Поскольку мы сейчас не рассматриваем никаких диэлектриков, кроме воздуха, то 𝐾=1.
Мы можем, однако, избежать на этой стадии применения теории электрического смещения, назвав величину 𝑅 cos ε𝑑𝑆. Индукцией через элемент 𝑑𝑆. Эта величина хорошо известна в математической физике, но название её мы заимствовали у Фарадея. Поверхностный интеграл от индукции равен ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆. Из п. 21 следует, что если 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие 𝑅 и если они непрерывны в области, ограниченной замкнутой поверхностью 𝑆 то индукция, отсчитываемая изнутри наружу, равна
∬
𝑅 cos ε
𝑑𝑆
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где интегрирование проводится по всему объёму, охватываемому поверхностью.
Индукция через замкнутую поверхность, обусловленная отдельным силовым центром
76. Пусть в точке O находится количество электричества 𝑒 и пусть 𝑟 - расстояние произвольной точки Р от точки О. Тогда напряжённость в этой точке равна 𝑅=𝑒𝑟-2 и направлена по ОР.
Пусть из точки О проведена в произвольном направлении прямая в бесконечность. Если точка О находится вне заданной замкнутой поверхности, то эта прямая либо не пересечёт этой поверхности, либо выйдет из неё столько же раз, сколько войдёт. Если О находится внутри поверхности, то прямая должна сначала выйти из поверхности, а потом она может попеременно входить и выходить любое число раз, но в конце концов она должна выйти из поверхности.
Пусть ε - угол между ОР и наружной нормалью к поверхности в точке, где её пересекает ОР. Там, где прямая выходит из поверхности, cos ε положителен, а там, где входит, - отрицателен.
Опишем теперь вокруг точки О сферу единичного радиуса, и пусть прямая ОР описывает коническую поверхность с малым углом раскрыва и с вершиной в точке О.
Этот конус вырежет малый элемент 𝑑ω на поверхности сферы и малые элементы 𝑑𝑆1, 𝑑𝑆2, и т. д. на замкнутой поверхности в различных местах пересечения прямой ОР с нею.
Поскольку каждый из этих элементов 𝑑𝑆 пересекает конус на расстоянии 𝑟 от вершины и наклонён под углом ε, то 𝑑𝑆=±𝑟² sec ε𝑑ω, а так как 𝑅=𝑒𝑟-2, то 𝑅 cos ε𝑑𝑆=±𝑑ω. При этом положительный знак берётся, когда 𝑟 выходит из поверхности, а отрицательный - когда входит.
Если точка О находится вне поверхности, то положительных значений столько же, сколько отрицательных, так что для любого направления ∑𝑅 cos ε𝑑𝑆=0, и, следовательно, ∬𝑅 cos ε𝑑𝑆=0, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности.
Если же точка О находится внутри замкнутой поверхности, то радиус-вектор ОР сначала выходит из поверхности, что даёт положительный вклад 𝑒𝑑ω а потом равное число раз входит и выходит, так что в этом случае ∑𝑅 cos ε𝑑𝑆=𝑒𝑑ω.
Взяв интеграл по всей замкнутой поверхности, мы охватим всю сферическую поверхность, площадь которой равна 4π, так что
