Полусферы не отводились перед проверкой потенциала шара. Они оставались на своём месте, но разряжались на землю. Влияние заданного заряда шара на электрометр в этом случае было меньше, чем при отведённых полусферах, но этот недостаток с лихвой искупался полнейшей защитой от всех внешних электрических воздействий благодаря проводящим оболочкам.
Короткая проволочка, обеспечивавшая соединение оболочки с шаром, была прикреплена к небольшому металлическому диску, прикрывавшему небольшое отверстие в оболочке, так что, когда проволочка вместе с диском приподнималась с помощью шёлковой нити, в отверстие можно было погрузить электрод электрометра до контакта с находящимся внутри шаром.
Электрометром служил Томсоновский Квадрантный Электрометр, описанный в п. 219. Корпус электрометра и один из его электродов были всё время соединены с землёй, а измерительный электрод соединялся с землёй до разрядки оболочки.
Для определения первоначального заряда оболочки на значительном расстоянии от неё располагался на подставке небольшой латунный шарик.
Опыт проводился следующим образом.
Оболочка заряжалась контактом с лейденской банкой. Небольшой шарик соединялся с землёй и приобретал отрицательный заряд через индукцию, после чего он изолировался. Проволочка, соединявшая шар и оболочки, удалялась с помощью шёлковой нити. Затем оболочка разряжалась и оставалась заземлённой. Измерительный электрод отключался от земли, и через отверстие в оболочке приводился в контакт с шаром.
Электрометр не регистрировал ни малейшего эффекта.
Для проверки чувствительности прибора оболочка отсоединялась от земли, а небольшой шарик разряжался на землю. При этом электрометр показывал положительное отклонение D.
Отрицательный заряд на шарике составлял около 1/54 от первоначального заряда оболочки, положительный заряд, индуцированный этим шариком при заземлении оболочки, составлял около 1/9 заряда шарика. Таким образом, после заземления шарика потенциал оболочки, регистрируемый электрометром, составлял 1/486 её первоначального потенциала.
Если бы отталкивание было пропорционально 𝑟𝑞-2, то потенциал шара составлял бы долю -0,1478𝑞 от потенциала оболочки согласно уравнению (22) п. 74 г.
Поэтому, если ±𝑑 - наибольшее отклонение электрометра, могущее оказаться не замеченным, a 𝐷 - отклонение, зарегистрированное во второй части опыта, то 𝑞 не может превосходить ±(1/72)⋅(𝑑/𝐷) (поскольку 0,1478𝑞𝑉/(1/486⋅𝑉) должна быть меньше, чем 𝑑/𝐷).
Даже в грубых опытах 𝐷 превосходило 300𝑑 так что 𝑞 не может превосходить ±1/21600.
Теория этого опыта
74 в. Найдём потенциал в произвольной точке, создаваемый однородной сферической оболочкой при силе расталкивания двух единичных зарядов, описываемой заданной функцией расстояния.
Пусть φ(𝑟) - расталкивание двух единичных зарядов на расстоянии 𝑟, а ƒ(𝑟) - такая функция, что
𝑑ƒ(𝑟)
𝑑𝑟
(=ƒ'(𝑟))=𝑟
∞
∫
𝑟
ƒ(𝑟)
𝑑𝑟
.
(1)
Пусть радиус оболочки равен 𝑎 а поверхностная плотность заряда на ней σ. Тогда если через α обозначить полный заряд на оболочке, то
α=4π𝑎²σ
(2)
Пусть 𝑏 - расстояние заданной точки от центра оболочки, а 𝑟 - расстояние этой точки от любой данной точки оболочки.
Если мы введём сферические координаты точки на оболочке, выбрав полюс в центре оболочки, а ось проходящей через заданную точку, то получим
𝑟²
=
𝑎²
+
𝑏²
-
2𝑎𝑏 cos θ
.
(3)
Заряд элемента оболочки равен
σ𝑎² sin θ
𝑑φ
𝑏θ
,
(4)
а потенциал, создаваемый этим элементом в заданной точке, равен
σ𝑎² sin θ
ƒ'(𝑟)
𝑟
𝑏θ
𝑑φ
.
(5)
Это выражение нужно проинтегрировать по φ от φ=0 до φ=2π, что даёт
2π
σ𝑎² sin θ
ƒ'(𝑟)
𝑟
𝑏θ
.
(6)
Остаётся провести интегрирование по θ от θ=0 до θ=π.
Дифференцируя (3), найдём
𝑟
𝑑𝑟
=
𝑎𝑏
sin θ
𝑑θ
.
(7)
Подставляя значение 𝑑θ в (6), получим
2πσ
𝑎
𝑏
ƒ'(𝑟)
𝑑𝑟
.
(8)
Интегрирование даёт
𝑉
=
2πσ
𝑎
𝑏
{
ƒ(𝑟
1
)
-
ƒ(𝑟
2
)
},
(9)
где 𝑟1 - наибольшее значение 𝑟 равное всегда 𝑎+𝑏 а 𝑟1 - наименьшее значение 𝑟, равное 𝑏-𝑎 в случае, когда заданная точка находится вне оболочки, и 𝑎-𝑏 когда эта точка внутри оболочки.
Если α - полный заряд оболочки, a 𝑉 - создаваемый им потенциал в данной точке, то для точек вне оболочки
𝑉
=
α
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑏+𝑎)
-
ƒ(𝑏-𝑎)
},
(10)
на самой оболочке
𝑉
=
α
2𝑎²
ƒ(2𝑎),
(11)
а для точек внутри её
𝑉
=
α
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑎+𝑏)
-
ƒ(𝑎-𝑏)
},
(12)
Найдём теперь потенциалы двух концентрических сферических оболочек с радиусами внешней и внутренней оболочек равными 𝑎 и 𝑏 и зарядами α и β.
Обозначая потенциал внешней оболочки через А, а внутренней через В, мы найдём из вышесказанного, что
𝐴
=
α
2𝑎²
ƒ(2𝑎)
+
β
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑎+𝑏)
-
ƒ(𝑎-𝑏)
},
(13)
𝐵
=
β
2𝑏²
ƒ(2𝑏)
+
α
2𝑎𝑏
{
ƒ(𝑎+𝑏)
-
ƒ(𝑎-𝑏)
},
(14)
В первой части опыта оболочки соединены короткой проволочкой и приобретают обе одинаковый потенциал 𝑉.
Полагая 𝐴=𝐵=𝑉 и решая уравнения (13) и (14) относительно β, мы найдём заряд на внутреннем проводнике:
β
=
𝑏ƒ(2𝑎)-𝑎[ƒ(𝑎+𝑏)-ƒ(𝑎-𝑏)]
ƒ(2𝑎)ƒ(2𝑏)-[ƒ(𝑎+𝑏)-ƒ(𝑎-𝑏)]²
(15)
В опыте Кавендиша полусферы, образующие оболочку, отводились на расстояние, которое мы можем считать бесконечным, и разряжались. Потенциал внутренней оболочки (т. е. шара) становился при этом равным
𝐵
1
=
β
2𝑏²
ƒ(2𝑏)
.
При повторении опыта в Кавендишской Лаборатории наружная оболочка оставалась на месте, но заземлялась, так что 𝐴=0. В этом случае для потенциала внутреннего шара, выраженного через 𝑉, получим
𝐵
2
=
𝑉
⎧
⎨
⎩
1-
