347. Мостик Уитстона состоит, по существу, из шести проводников, соединяющих четыре точки. К двум из этих точек прикладывается электродвижущая сила 𝐸 с помощью вольтовой батареи, введённой между 𝐵 и 𝐶. Ток между двумя другими точками 𝑂 и 𝐴 измеряется гальванометром [рис. 32].

Рис. 32

При определённых условиях этот ток обращается в нуль. Тогда говорят, что проводники 𝐵𝐶 и 𝑂𝐴 сопряжены один другому, что накладывает определённую связь на сопротивления других четырёх проводников, и эта связь используется при измерении сопротивлений.

Если ток через 𝑂𝐴 равен нулю, потенциал в точке 𝑂 должен быть равен потенциалу в точке 𝐴. Но если мы знаем потенциалы в 𝐵 и 𝐶, мы можем определить потенциалы в 𝑂 и 𝐴 с помощью правил, данных в п. 275, с учётом того, что ток в 𝑂𝐴 отсутствует:

𝑂

=

𝐵γ+𝐶β

β+γ

,

𝐴

=

𝐵𝑏+𝐶𝑐

𝑏+𝑐

,

откуда получаем условие 𝑏β=𝑐γ, где 𝑏, 𝑐, β, γ обозначают соответственно сопротивления участков 𝐶𝐴, 𝐴𝐵, 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶.

Чтобы определить степень точности, достижимую в этом методе, мы должны определить силу тока в 𝑂𝐴 если это условие не выполнено точно.

Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, и 𝑂 - четыре точки. Пусть токи, текущие вдоль 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, и 𝐴𝐵, равны соответственно 𝑥, 𝑦 и 𝑧, а сопротивления этих проводников - 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Пусть токи, текущие вдоль 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 и 𝑂𝐶 равны ξ, η, ζ, а соответствующие сопротивления равны α, β и γ. Пусть электродвижущая сила 𝐸 действует вдоль 𝐵𝐶 Требуется определить ток ξ через 𝑂𝐴.

Обозначим потенциалы в точках 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂 буквами 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂. Уравнения, определяющие прохождение тока, будут

𝑎𝑥

=

𝐵-𝐶+𝐸,

αξ

=

𝑂-𝐴,

𝑏𝑦

=

𝐶-𝐴,

βη

=

𝑂-𝐵,

𝑐𝑧

=

𝐴-𝐵,

γζ

=

𝑂-𝐶,

а уравнения непрерывности:

ξ+𝑦+𝑧

=

0,

η+𝑧-𝑥

=

0,

ζ+𝑥-𝑦

=

0.

Рассматривая систему как образованную тремя цепями 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых токи соответственно равны 𝑥, 𝑦, и 𝑧, и применяя к каждой замкнутой цепи правило Кирхгофа, мы исключаем значения потенциалов 𝑂, 𝐴, 𝐵, 𝐶 и токов ξ, η, ζ и получаем следующие уравнения для 𝑥, 𝑦, и 𝑧:

(𝑎+β+γ)

𝑥

-γ

𝑦

-β

𝑧

=

𝐸,

-γ

𝑥

+(𝑏+γ+α)

𝑦

-α

𝑧

=

0,

-β

𝑥

-α

𝑦

+(𝑐+α+β)

𝑧

=

0.

Отсюда, если мы положим

𝐷

=

⎪

⎪

⎪

⎪

𝑎+β+γ,

-γ,

-β,

⎪

⎪

⎪

⎪

,

-γ,

𝑏+γ+α,

-α,

-β,

-α,

𝑐+γ+α

найдём

ξ

=

𝐸

𝐷

(𝑏β-𝑐γ)

и

𝑥

=

𝐸

𝐷

{

(𝑏+γ)

(𝑐+β)

+

α(𝑏+𝑐+β+γ)

}.

348. Значение 𝐷 можно выразить в симметричной форме

𝐷

+

𝑎𝑏𝑐

+

𝑏𝑐(β+γ)

+

𝑐𝑎(γ+α)

+

𝑎𝑏(α+β)

+

+

(𝑎+𝑏+𝑐)

(βγ+γα+αβ)

,

или, так как мы предполагаем, что батарея составляет часть проводника 𝑎, а гальванометр - часть проводника α, можем вместо а писать сопротивление батареи 𝐵, а вместо 𝑎 - сопротивление гальванометра 𝐺. Мы тогда находим

𝐷

=

𝐵𝐺

(𝑏+𝑐+β+γ)

+

𝐵(𝑏+γ)(𝑐+β)

+

+

𝐺(𝑏+𝑐)(β+γ)

+

𝑏𝑐(β+γ)

+

+βγ(𝑏+𝑐)

.

Если бы электродвижущая сила 𝐸 действовала вдоль отрезка 𝑂𝐴, причём сопротивление отрезка 𝑂𝐴 было бы по-прежнему равно α, и если бы гальванометр был включён в 𝐵𝐶, причём сопротивление 𝐵𝐶 было бы по-прежнему равно 𝑎, то величина 𝐷 не изменилась бы и ток в 𝐵𝐶, вызванный электродвижущей силой 𝐸, действующей вдоль 𝑂𝐴, был бы равен току в 𝑂𝐴, вызванному электродвижущей силой 𝐸, действующей в 𝐵𝐶.

Но если мы просто отъединим батарею и гальванометр и, не меняя их соответствующих сопротивлений, присоединим батарею к точкам 𝑂 и 𝐴, а гальванометр - к точкам 𝐵 и 𝐶, то в выражении для 𝐷 мы должны поменять местами 𝐵 и 𝐺. Если обозначить через 𝐷' выражение, в которое переходит 𝐷 после такой перестановки, мы находим

𝐷-𝐷'

=

(𝐺-𝐵)

{

(𝑏+𝑐)

(β+γ)

-

(𝑏+γ)

(β+𝑐)

}=

=

(𝐵-𝐺)

{

(𝑏-β)

(𝑐-γ)

}.

Предположим, что сопротивление гальванометра больше, чем сопротивление батареи.

Предположим также, что в своём первоначальном положении гальванометр соединяет контакт двух проводников, β и γ, обладающих наименьшими сопротивлениями, с контактом двух проводников 𝑏, 𝑐, обладающих наибольшими сопротивлениями. Другими словами, мы будем предполагать, что если величины 𝑏, 𝑐, γ, β расположены в порядке возрастания, то 𝑏 и 𝑐 стоят рядом и γ и β стоят рядом. Поэтому величины 𝑏-β и 𝑐-γ имеют один и тот же знак, вследствие чего их произведение положительно, и потому 𝐷-𝐷' имеет тот же самый знак, что 𝐵-𝐺.

Следовательно, если сделать так, чтобы гальванометр соединял контакт между двумя наибольшими сопротивлениями с контактом между двумя наименьшими сопротивлениями, и если у гальванометра сопротивление больше, чем у батареи, то величина 𝐷 будет меньше, а величина отклонения гальванометра - больше по сравнению с тем случаем, когда соединения переставлены местами.

Отсюда вытекает следующее правило для получения наибольших отклонений гальванометра в данной системе: из двух сопротивлений, батареи и гальванометра, большее нужно подключить так, чтобы оно соединяло два наибольших и два наименьших из остальных четырёх сопротивлений.

349. Предположим, что нам нужно определить отношение сопротивлений двух проводников 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 и что это нужно сделать, отыскав такую точку 𝑂 проводника 𝐵𝑂𝐶, что если точки 𝑂 и 𝐴 соединить проводом с введённым в него гальванометром, а между 𝐵 и 𝐶 включить батарею, то заметного отклонения стрелки гальванометра не произойдёт.

Можно предположить, что проводник 𝐵𝑂𝐶 представляет собой провод с однородным сопротивлением, разделённый на равные части, и поэтому отношение сопротивлений 𝐵𝑂 и 𝑂𝐶 можно отсчитывать сразу.

Можно не делать весь проводник однородным, а сделать из однородного провода только часть проводника, прилегающую к точке 𝑂, а те части, которые находятся по обе стороны, могут быть катушками любой формы, сопротивление которых точно известно.

Теперь мы будем использовать обозначения, отличающиеся от симметричных обозначений, с которых мы начали.

Пусть сопротивление 𝐵𝐴𝐶 равно 𝑅, 𝑐=𝑚𝑅 и 𝑏=(1-𝑚)𝑅, полное сопротивление 𝐵𝑂𝐶 равно 𝑆, β=𝑛𝑆 и γ=(1-𝑛)𝑆.

Величина 𝑛 отсчитывается непосредственно, а величина 𝑚 определяется по 𝑛 в положении, когда нет заметного отклонения гальванометра.

Обозначим сопротивление батареи и её соединений через 𝐵, а сопротивление гальванометра и его соединений - через 𝐺.