Рис. 31
Обозначим через 𝐼1, 𝐼2 токи, текущие через эти две катушки гальванометра. Тогда отклонение стрелки может быть записано в виде δ=𝑚𝐼1-𝑛𝐼2.
Пусть теперь ток батареи 𝐼 разделяется между катушками гальванометра, и пусть в цепь первой и второй катушек введены соответственно сопротивления 𝐴 и 𝐵. Обозначим остальные сопротивления в цепях этих катушек и их соединений соответственно через α и β, сопротивление батареи и её соединений между точками 𝐶 и 𝐷 обозначим через 𝑟, а её электродвижущую силу - через 𝐸.
Тогда, по Закону Ома, для разности потенциалов между точками 𝐶 и 𝐷 находим
𝐼
1
(𝐴+α)
=
𝐼
2
(𝐵+β)
=
𝐸-𝐼𝑟
,
и так как 𝐼1+𝐼2=𝐼 то
𝐼
1
=
𝐸
𝐵+β
𝐷
,
𝐼
2
=
𝐸
𝐴+α
𝐷
,
𝐼
=
𝐸
𝐴+α+𝐵+β
𝐷
,
где
𝐷
=
(𝐴+α)
(𝐵+β)
+
𝑟(𝐴+α+𝐵+β)
.
Поэтому отклонение стрелки гальванометра равно
δ
=
𝐸
𝐷
{
𝑚(𝐵+β)
-
𝑛(𝐴+α)
},
и, если не наблюдается никакого отклонения, тогда мы знаем, что величина, заключенная в фигурные скобки, не может отличаться от нуля больше, чем на некоторое малое количество, зависящее от мощности батареи, от выбора подходящего устройства, от чувствительности гальванометра и от точности наблюдателя.
Предположим, что катушка 𝐵 подобрана так, что не наблюдается видимого отклонения.
Пусть теперь вместо 𝐴 вставляется другой проводник 𝐴', и пусть проводник 𝐴' подбирается так, чтобы не было видимого отклонения. Тогда, очевидно, в первом приближении, 𝐴'=𝐴.
Чтобы установить степень точности этой оценки, обозначим штрихами изменённые количества, относящиеся ко второму наблюдению. Тогда
𝑚(𝐵+β)
-
𝑛(𝐴+α)
=
𝐷
𝐸
δ
,
𝑚(𝐵+β)
-
𝑛(𝐴'+α)
=
𝐷'
𝐸'
δ'
;
отсюда
𝑛(𝐴'-𝐴)
=
𝐷
𝐸
δ
-
𝐷'
𝐸'
δ'
.
Если наблюдения дают, что δ и δ', вместо того чтобы видимым образом обратиться в нуль, только равны друг другу, то, пока мы не можем ручаться, что 𝐸=𝐸', правая часть последнего уравнения может не обратиться в нуль. В этом случае метод был бы только видоизменением метода, описанного выше.
Достоинство излагаемого метода состоит в том, что предметом наблюдения является отсутствие какого бы то ни было отклонения, или, иными словами, этот метод является Нулевым методом, в котором отсутствие силы определяется из такого наблюдения, в котором сила, если бы она отличалась от нуля больше чем на некоторую определённую малую величину, произвела бы наблюдаемый эффект.
Нулевые методы имеют большое значение там, где их можно применить, но они применимы только в тех случаях, когда мы можем сделать так, чтобы два равные и противоположные количества одного и того же вида одновременно входили в эксперимент.
В рассматриваемом нами случае обе величины δ и δ' являются слишком малыми для того, чтобы их можно было наблюдать, и поэтому любое изменение в величине 𝐸 не нарушает точности результата.
Действительную степень точности этого метода можно определить, проведя некоторое число наблюдений, в каждом из которых 𝐴' подстраивается отдельно, и сравнивая результат каждого наблюдения со средним значением, полученным по всей последовательности измерений.
Но если мы выведем 𝐴' из настройки, изменив эту величину известным образом, например, включив в цепь 𝐴 или в цепь 𝐵 добавочное сопротивление, равное одной сотой части от величины 𝐴 или 𝐵, и если мы затем определим результирующее отклонение стрелки гальванометра, мы можем узнать, сколько делений соответствует ошибке в один процент. Чтобы оценить действительную степень точности, мы должны оценить наименьшее отклонение, которое ещё поддаётся наблюдению, и сравнить его с отклонением, соответствующим ошибке в один процент.
2 Если нужно сравнить величины 𝐴 и 𝐵 и если 𝐴 и 𝐵 поменять местами, то уравнение станет таким:
𝑚(𝐴+β)
-
𝑛(𝐵+α)
=
𝐷'
𝐸'
δ'
,
откуда
(𝑚+𝑛)
(𝐵-𝐴)
=
𝐷
𝐸
δ
-
𝐷'
𝐸'
δ'
.
2 Это исследование взято из трактата Вебера по гальванометрам. Göttingen Transactions, X. р. 65.
Если 𝑚 и 𝑛, 𝐴 и 𝐵, α и β, 𝐸 и 𝐸' приблизительно равны, то
𝐵-𝐴
=
1
2𝑛𝐸
(𝐴+α)
(𝐴+α+2𝑟)
(δ-δ')
.
Здесь за величину δ-δ' можно принять наименьшее наблюдаемое отклонение гальванометра.
Если бы провод гальванометра был длиннее и тоньше при неизменной полной массе, тогда величина 𝑛 менялась бы как длина провода, а величина α - как квадрат длины. Поэтому величина (𝐴+α)(𝐴+α+2𝑟)/𝑛 будет иметь минимум при
α
=
1
3
(𝐴+𝑟)
⎧
⎨
⎩
2
⎛
⎜
⎝
1-
3
4
𝑟²
(𝐴+𝑟)²
⎞½
⎟
⎠
-1
⎫
⎬
⎭
.
Если мы предположим, что сопротивление батареи 𝑟 пренебрежимо мало в сравнении с 𝐴, это даст α=𝐴/3, или сопротивление каждой катушки гальванометра должно быть равно одной трети от величины измеряемого сопротивления.
Мы тогда находим
𝐵-𝐴
=
8
9
𝐴²
𝑛𝐸
(δ-δ')
.
Если мы пустим ток только через одну из катушек гальванометра и если при этом отклонение будет равно Δ (предполагаем, что отклонение строго пропорционально отклоняющей силе), то
Δ
=
𝑛𝐸
𝐴+α+𝑟
=
3
4
𝑛𝐸
𝐴
, если 𝑟
=
0 и α
=
1
3
𝐴
.
Отсюда
𝐵-𝐴
𝐴
=
2
3
δ-δ'
Δ
.
В дифференциальном гальванометре два тока должны производить равное и противоположное воздействие на подвешенную стрелку. Сила, с которой каждый из токов действует на стрелку, зависит не только от величины этого тока, но и от положения витков провода относительно стрелки. Поэтому, если катушка намотана недостаточно тщательно, отношение 𝑚 к 𝑛 может меняться при изменении положения стрелки, и, следовательно, если возникают подозрения о любом изменении положения стрелки, необходимо соответствующими методами определять это отношение 𝑚 к 𝑛 каждый раз в течение хода измерений.
В другом методе, в котором используется мостик Уитстона, требуется только обычный гальванометр, и наблюдаемое нулевое отклонение стрелки вызвано не противодействием двух токов, а отсутствием тока в проводе. Поэтому мы наблюдаем не только нулевое отклонение, но и нулевой ток, и не может возникнуть ошибок от недостаточной регулярности или от изменений любого вида в катушках гальванометра. От гальванометра только требуется, чтобы он был достаточно чувствителен, для того чтобы определять существование и направление тока, и не нужно каким-либо способом определять величину тока или сравнивать величину этого и другого тока.
