где 𝑘 - сопротивление единицы длины проводника, a 𝑑𝑄/𝑑𝑥 - сила тока. Исключая 𝑄 из уравнений (2) и (3), находим

𝑐𝑘

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

𝑑²𝑣

𝑑𝑥²

.

(4)

Это уравнение в частных производных, которое нужно решить для того, чтобы получить потенциал в любой момент времени в любой точке кабеля. Оно совпадает с тем уравнением, которое Фурье даёт для определения температуры в любой точке слоя, через который течёт тепло в направлении, перпендикулярном к слою. В случае тепла 𝑐 означает ёмкость единицы объёма (эту величину Фурье обозначает через 𝐶𝐷), a 𝑘 означает величину, обратную проводимости.

Если прослойка не является совершенным изолятором и если её сопротивление на единицу длины равно 𝑘₁ при прохождении тока через слой в радиальном направлении, тогда, если удельное сопротивление изолирующего материала равно ρ₁, легко показать, что

𝑘

₁

=

1

2π

ρ

₁

ln

𝑎₁

𝑎₂

.

(5)

Уравнение (2) уже не будет справедливым, поскольку электричество расходуется не только на зарядку жилы до величины, определяемой выражением 𝑐𝑣 но и на утечку, скорость которой определяется выражением 𝑣𝑘₁. Поэтому скорость расхода электричества будет

-

𝑑²𝑄

𝑑𝑥𝑑𝑡

=

𝑐

𝑑𝑣

𝑑𝑡

+

1

𝑘₁

𝑣

,

(6)

откуда, сравнивая с (3), получаем

𝑐𝑘

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

𝑑²𝑣

𝑑𝑥²

-

𝑘

𝑘₁

𝑣

.

(7)

Такой вид, согласно Фурье, имеет уравнение теплопроводности для стержня или кольца ¹

¹Theory de la Chaleur, Art. 105.

333. Если бы мы приняли, что при повышении потенциала тело электризуется во всем своём объёме так, как если бы электричество нагнеталось внутрь тела, мы бы пришли к уравнению точно такого же вида. Примечательно, что сам Ом, будучи введён в заблуждение этой аналогией между электричеством и теплотой, поддержал мнение такого рода и потому из-за этой ошибочной точки зрения использовал уравнение Фурье для того, чтобы описать истинные законы прохождения электричества по длинному проводу, задолго до того, как были усмотрены действительные причины применимости этих уравнений.

Механическое истолкование свойств диэлектриков

334. Пять трубок 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝑃 равного поперечного сечения расположены так, как показано на рисунке. 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷 расположены вертикально, а 𝑃 - горизонтально [рис. 27].

Рис. 27

У трубок 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 нижняя половина наполнена ртутью, а их верхняя половина и горизонтальная трубка 𝑃 наполнены водой.

Трубка с запорным краном 𝑄 соединяет нижнюю часть трубок 𝐴 и 𝐵 с нижней частью трубок 𝐶 и 𝐷, а поршень 𝑃 сделан так, чтобы он мог скользить в горизонтальной трубке.

Начнём с предположения, что уровень ртути во всех четырёх трубках один и тот же, и обозначим этот уровень через 𝐴₀, 𝐵₀, 𝐶₀ и 𝐷₀ Пусть при этом поршень находится в положении 𝑃₀, а запорный кран 𝑄 закрыт.

Пусть теперь поршень перемещается из положения 𝑃₀ в положение на расстояние 𝑎. Тогда, поскольку сечения всех трубок равны, уровень ртути в 𝐴 и 𝐶 поднимется на высоту 𝑎, т. е. до отметок 𝐴₁ и 𝐶₁ а ртуть в 𝐵 и 𝐷 опустится на такое же расстояние 𝑎, т.е. до отметок 𝐵₁ и 𝐷₁.

Разность давлений по обе стороны поршня будет представлена величиной 4𝑎.

Эту установку можно использовать для того, чтобы представить диэлектрик, на который действует электродвижущая сила, равная 4𝑎.

Можно считать, что избыток воды в трубке 𝐷 представляет положительный заряд электричества на одной стороне диэлектрика, а избыток ртути в трубке 𝐴 может представлять отрицательный заряд на другой стороне. Тогда избыток давления в трубке 𝑃 с той стороны поршня, которая обращена к 𝐷 будет представлять избыток потенциала на положительной стороне диэлектрика.

Если поршень может двигаться, он будет двигаться назад к положению 𝑃₀, где он будет в равновесии. Это представляет полный разряд диэлектрика.

Во время разряда имеет место обратное движение жидкостей во всей установке, и оно представляет то изменение электрического смещения, которое, по нашему предположению, имеет место в диэлектрике.

Я предположил, что каждая часть системы трубок наполнена несжимаемыми жидкостями, с тем чтобы представить свойство полного электрического смещения, состоящее в том, что ни в каком месте не происходит действительного накопления электричества.

Теперь рассмотрим, что произойдёт, если мы откроем запорный кран 𝑄 в то время, когда поршень 𝑃 находится в положении 𝑄₁.

Уровни 𝐴₁ и 𝐷₁ останутся неизменными, но уровни в трубках 𝐵 и 𝐶 станут одинаковыми и убудут совпадать с 𝐵₀ и 𝐶₀.

Открытый запорный кран 𝑄 отвечает наличию в диэлектрике части, которая обладает некоторой проводящей способностью, но которая не простирается через весь диэлектрик так, чтобы образовать открытый канал.

Заряды на противоположных сторонах диэлектрика остаются изолированными, но отвечающая им разность потенциалов уменьшается.

Действительно, за время прохождения жидкости через 𝑄 разность давлений по обе стороны от поршня падает с 4𝑎 до 2𝑎.

Если мы теперь закроем запорный кран 𝑄 и дадим возможность поршню 𝑃 свободно двигаться, он придёт к равновесию в точке 𝑃₂, и разряд, очевидно, будет равен половине заряда.

Уровень ртути в 𝐴 и 𝐵 будет выше первоначального уровня на 𝑎/2, в то время как уровень в трубках 𝐶 и 𝐷 будет на 𝑎/2 ниже первоначального. Эти уровни изображены отметками 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂, 𝐷₂.

Если теперь закрепить поршень и открыть кран, ртуть будет перетекать из 𝐵 в 𝐶 до тех пор, пока уровень в этих двух трубках не придёт снова к отметкам 𝐵₀ и 𝐶₀. Тогда разность давлений по обе стороны от поршня 𝑃 будет равна 𝑎. Если теперь закрыть запорный кран и освободить поршень 𝑃, он опять придёт к равновесию в некоторой точке 𝑃₃ находящейся на полпути между точками 𝑃₂ и 𝑃₀. Это соответствует остаточному заряду, который наблюдается, когда заряженный диэлектрик сперва разряжается, а потом предоставляется самому себе. Он постепенно восстанавливает часть своего заряда, и если его потом опять разрядить, образуется третий заряд, причём эти последовательные заряды убывают по величине. В случае рассматриваемого иллюстративного эксперимента каждый заряд равен половине предыдущего, а разряды, которые равны 1/2, 1/4 и т. д. от первоначального заряда, образуют ряд, сумма которого равна первоначальному заряду.

Если бы вместо открывания и закрывания крана мы бы в течение всего эксперимента держали кран почти, но не совсем закрытым, мы бы получили случай, напоминающий случай электризации некоторого диэлектрика, который является совершенным изолятором и, кроме того, обнаруживает явление, называемое «электрическим поглощением».

Чтобы представить случай, в котором имеется истинное прохождение тока, мы должны либо сделать так, чтобы поршень пропускал жидкость, либо установить соединение между верхней частью трубки 𝐴 и верхней частью трубки 𝐷.

Таким способом мы можем построить механическую иллюстрацию свойств диэлектрика любого вида, причём два вида электричества представлены двумя настоящими жидкостями, а электрический потенциал представлен давлением жидкости. Заряд и разряд представлены движением поршня 𝑃, а электродвижущая сила - равнодействующей сил, действующих на поршень.