η
=
2β
2
±2𝑚
(β
1
+β
2
)
,
(21)
где 𝑚 - целое.
Потенциал, создаваемый любой бесконечной последовательностью таких изображений, будет зависеть от того, чётно или нечётно число изображений. Таким образом, потенциал бесконечной последовательности остаётся неопределённым, но если добавить к нему функцию 𝐵η+𝐶, то условия задачи достаточны, чтобы найти распределение электричества.
Сначала нужно выразить потенциалы двух проводящих плоскостей 𝑉1 и 𝑉2 через 𝐵, 𝐶 и коэффициенты 𝐴1, 𝐴2, …. Затем нужно определить поверхностные плотности σ1, σ2 в произвольной точке этих плоскостей. Средние значения σ1 и σ2 даются уравнениями
4πσ
1
=
2π
𝑎
(𝐴
0
-𝐵)
,
4πσ
2
=
2π
𝑎
(𝐴
0
+𝐵)
.
(22)
Затем потенциалы самой решётки и всех изображений следует разложить по ρ и по косинусам дуг, кратных θ, и добавить к ним 𝐵ρ cos θ+𝐶.
Члены, не зависящие от θ, дают при этом потенциал решётки 𝑉, а приравнивание к нулю коэффициентов при косинусах даёт уравнения для неопределённых коэффициентов.
Полученных таким образом уравнений достаточно для того, чтобы исключить все эти коэффициенты и свести к двум уравнениям, выражающим σ1 и σ2 через 𝑉1 𝑉2 и 𝑉.
Эти уравнения имеют вид
𝑉
1
-
𝑉
=
4πσ
1
(𝑏
1
+α-γ)
+
4πσ
2
(α+γ)
,
𝑉
2
-
𝑉
=
4πσ
1
(α+γ)
+
4πσ
2
(𝑏
2
+α-γ)
.
(23)
Количество электричества, наводимое на одной из плоскостей, защищённой решёткой, другой плоскостью при заданной разности потенциалов, будет таким, как если бы плоскости находились не на расстоянии 𝑏1+𝑏2, а на расстоянии
(α-γ)(𝑏1+𝑏2+𝑏1𝑏2-4αγ)
α+γ
.
Значения α и γ приближённо равны
α
=
𝑎
2π
⎧
⎨
⎩
ln
𝑎
2π𝑐
-
5
3
⋅
π4𝑐4
15𝑎4+π4𝑐4
+
+
2𝑒
-4π(𝑏1+𝑏2)/𝑎
(1+
𝑒
-4π(𝑏1/𝑎)
+
𝑒
-4π(𝑏2/𝑎)
+…)
+…
⎫
⎬
⎭
,
γ
=
3π𝑎𝑐²
3𝑎²+π²𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑒-4π(𝑏1/𝑎)
1-𝑒-4π(𝑏1/𝑎)
-
𝑒-4π(𝑏2/𝑎)
1-𝑒-4π(𝑏2/𝑎)
⎞
⎟
⎠
+…
.
ГЛАВА XIII
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
Об электростатических приборах
Приборы, которые нам теперь нужно рассмотреть, можно разделить на следующие классы:
1) Приборы для получения и увеличения электризации.
2) Умножители - для увеличения электризации в известное число раз.
3) Электрометры - для измерения электрических потенциалов и зарядов.
4) Накопители - для удержания больших электрических зарядов.
Электрические машины
207. В обычной электрической машине стеклянная пластинка или стеклянный цилиндр приводятся во вращение так, чтобы при этом происходило трение о кожу, на поверхность которой наносится амальгама цинка и ртути. Поверхность стекла электризуется положительно, а натирающая поверхность (щётка) - отрицательно. Когда электризованная поверхность стекла отходит от отрицательно электризованной щётки, стекло приобретает высокий положительный потенциал. Затем поверхность проходит мимо набора заострённых металлических стержней, соединённых кондуктором машины. Положительная электризация стекла вызывает отрицательную электризацию иголок, которая тем больше, чем острее иголки и чем они ближе к стеклу.
Когда машина работает должным образом, между стеклом и остриями происходит разряд через воздух, стекло теряет часть своего положительного заряда, заряд переходит на острия и, таким образом, попадает на изолированный главный кондуктор машины, т. е. на любое другое тело, которое находится с ним в электрическом соединении.
Те участки стекла, которые приближаются к щётке, имеют меньший положительный заряд, чем те, которые в то же самое время удаляются от щётки, так что щётка и связанные с ней проводники становятся отрицательно электризованными.
Поверхность стекла с высоким положительным потенциалом, удаляющаяся от щётки, сильнее притягивается отрицательным зарядом щётки, чем частично разряженная поверхность, которая приближается к щётке. Поэтому электрические силы действуют как сопротивление той силе, которая приводит машину во вращение. Таким образом, работа, затраченная на вращение машины, оказывается больше, чем работа, затраченная на преодоление обычного трения и других сил сопротивления, а избыток идёт на создание состояния электризации, энергия которого эквивалентна этому избытку.
Работа, затраченная на преодоление трения, сразу переходит в тепло в трущихся друг о друга телах. Электрическая энергия также может быть обращена либо в механическую энергию, либо в тепло.
Если машина не запасает механической энергии, то вся энергия будет обращена в тепло, и единственная разница между теплом от трения и теплом от электрического действия заключается в том, что первое порождается на трущихся поверхностях, в то время как второе может порождаться в проводниках на расстоянии 1.
1 Представляется вероятным, что во многих случаях, когда динамическая энергия превращается в тепло из-за трения, часть энергии может сначала перейти в электрическую энергию, а затем преобразовываться в тепло по мере того, как электрическая энергия затрачивается на поддержание замкнутых токов вблизи от трущихся поверхностей. См. сэр Уильям Томсон «Об электродинамических свойствах металлов». Phil. Trans., 1856. р. 649.
Мы видели, что электрический заряд на поверхности стекла притягивается щёткой. Если бы это притяжение было достаточно велико, то вместо разряда между стеклом и собирающими остриями мог бы возникнуть разряд между стеклом и щёткой. Чтобы этого не произошло, к щётке прикрепляются кусочки шелка. Они отрицательно электризуются и прижимаются к стеклу и, таким образом, уменьшают потенциал вблизи от щётки.
Поэтому по мере того как стекло отходит от щётки, потенциал возрастает не так быстро и, таким образом, в каждой точке притяжение заряда на стекле к щётке оказывается меньше, а следовательно, уменьшается и опасность прямого разряда на щётку.
В некоторых электрических машинах движущаяся часть сделана из эбонита, а не из стекла, а щётка - из шерсти или меха. В этом случае щётка заряжается положительно, а главный кондуктор - отрицательно.
Электрофор Вольта
208. Электрофор состоит из смоляной или эбонитовой пластины, которая имеет сзади металлическое покрытие, и из металлической пластины того же размера. К задней стороне каждой из этих пластин может быть привёрнута изолированная рукоятка. Эбонитовая пластина имеет металлическую иглу, и, когда металлическая и эбонитовая пластины соприкасаются, эта игла соединяет металлическую пластину с металлическим покрытием на задней стороне эбонитовой пластины.
