(9)
а на второй плоскости - из уравнения (7):
4πσ
2
=
𝑑𝑉2
𝑑𝑏2
=
4π
𝑎
λ'
.
(9)
Если положить
α
=
-
𝑎
2π
ln
⎛
⎜
⎝
2 sin
π𝑐
𝑎
⎞
⎟
⎠
(11)
и исключить 𝑐, λ и λ' из уравнений (6), (7), (8), (9), (10), то получим
4πσ
1
⎛
⎜
⎝
𝑏
1
+
𝑏
2
+
𝑏1𝑏2
α
⎞
⎟
⎠
=
𝑉
1
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑏2
α
⎞
⎟
⎠
-
𝑉
2
-
𝑉
𝑏2
α
,
(12)
4πσ
2
⎛
⎜
⎝
𝑏
1
+
𝑏
2
+
𝑏1𝑏2
α
⎞
⎟
⎠
=
-
𝑉
1
+
𝑉
2
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑏1
α
⎞
⎟
⎠
-
𝑉
𝑏1
α
.
(13)
Для бесконечно тонких проволочек α становится бесконечным, члены, где α входит в знаменатель, исчезают, так что мы приходим к случаю двух параллельных пластин без всякой решётки.
Если решётка находится в металлическом контакте с одной из плоскостей, скажем с первой, то 𝑉=𝑉1 и правая часть уравнения для σ1 становится равной 𝑉1-𝑉2. Следовательно, плотность σ1, наводимая на первой плоскости при наличии решётки, относится к значению плотности, которая наводилась бы при отсутствии решётки, и при второй плоскости, поддерживаемой при том же потенциале, как 1 к 1+[𝑏1𝑏2/{α(𝑏1+𝑏2)}].
Мы пришли бы к той же величине уменьшения электрического влияния первой поверхности на вторую при наличии решётки, если бы считали, что решётка связана со второй поверхностью. Это ясно из того, что 𝑏1 и 𝑏2 входят в это выражение одинаково. Это непосредственно следует также из теоремы п. 88.
Индукция одной заряженной плоскости на другую через решётку получается такая же, что и при удалённой решётке, но на расстоянии между плоскостями, увеличенном с 𝑏1+𝑏2 до 𝑏1+𝑏2+(𝑏1𝑏2/α).
Если обе плоскости находятся под нулевым потенциалом, а решётка заряжена до заданного потенциала, то количество электричества на ней относится к количеству электричества, которое индуцировалось бы на плоскости равной площади, помещённой в то же положение, как 𝑏1𝑏2/[𝑏1𝑏2+α(𝑏1+𝑏2)].
Эти результаты справедливы в предположении, что 𝑏1 и 𝑏2 много больше α, а α много больше 𝑐. Величина α имеет размерность длины и может принимать любое значение. Она становится бесконечно большой при неограниченном уменьшении 𝑐.
Если положить 𝑐=𝑎/2, то между проволочками решётки не будет никакого зазора, так что не будет никакой индукции через решётку. Поэтому α должно было бы быть равным 0. Но формула (11) даёт в этом случае α=-(𝑎/2π) ln 2=-0,11𝑎, что, очевидно, неверно, так как решётка никогда не может привести к изменению знака индукции. Нетрудно, однако, в случае решётки и цилиндрических проволочек перейти к более высокому приближению. Я здесь только намечу основные этапы такого перехода.
Метод приближения
206. Поскольку проволоки имеют цилиндрическую форму и распределение электричества на каждой проволоке симметрично относительно диаметра параллельного оси 𝑦, то подходящее разложение для потенциала имеет вид
𝑉
=
𝐶
0
ln 𝑟
∑
𝐶
𝑖
𝑟
𝑖
cos 𝑖θ
,
(14)
где 𝑟 - расстояние от оси проволочек, а θ - угол между 𝑟 и 𝑦. Поскольку проволока является проводником, то при 𝑟 равном радиусу проволоки 𝑉 должно быть постоянно, и, следовательно, коэффициенты при всех косинусах дуг, кратных θ, должны обращаться в 0.
Перейдём для краткости к новым координатам ξ, η и т. д., так что
𝑎ξ
=
2π𝑥
,
𝑎η
=
2π𝑦
,
𝑎ρ
=
2π𝑟
,
𝑎β
=
2π𝑏
и т.д.,
(15)
и пусть
𝐹
β
=
ln(
𝑒
η+β
+
𝑒
-(η+β)
-
2cos ξ
).
(16)
Тогда, положив
𝑉
=
𝐴
0
𝐹
β
+
𝐴
1
𝑑𝐹β
𝑑η
+
𝐴
2
𝑑²𝐹β
𝑑η²
+…,
(17)
мы можем, выбрав соответствующие значения коэффициентов 𝐴, представить любой потенциал, являющийся функцией от η и cos ξ и не обращающийся в бесконечность нигде, кроме η+β=0 и cos ξ=1.
При β=0 разложение 𝐹 по ρ и θ имеет вид
𝐹
0
=
2 ln ρ
+
1
12
ρ²cos 2θ
-
1
1440
ρ
4
cos 4θ
+…
.
(18)
Для конечных значений β разложение 𝐹 имеет вид
𝐹
β
=
β
+
2 ln(1-𝑒
-β
)
+
1+𝑒-β
1-𝑒-β
ρ cos θ
-
-
𝑒-β
(1-𝑒-β)²
ρ² cos 2θ
+…
.
(19)
В случае решётки с двумя проводящими плоскостями, уравнения которых η=β1 и η=-β2, а уравнение плоскости решётки η=0, получатся два бесконечных ряда изображений решётки. Первый ряд будет состоять из самой решётки и бесконечной последовательности изображений с обеих сторон с зарядом той же величины и знака. Оси этих воображаемых цилиндров лежат в плоскостях, уравнения которых имеют вид
η
=
±2𝑛
(β
1
+β
2
)
.
(20)
Второй ряд будет состоять из бесконечной последовательности изображений, для которых коэффициенты 𝐴0, 𝐴2, 𝐴4 и т.д. равны и противоположны по знаку соответствующим величинам для самой решётки, а коэффициенты 𝐴1, 𝐴3 и т.д. совпадают по величине и по знаку с соответствующими коэффициентами для решётки. Оси этих изображений расположены в плоскостях, уравнения которых имеют вид
