dX = аX,

где X — функция, описывающая объем популяции, зависящий от времени, а — коэффициент прироста (коэффициент Мальтуса), а dX — скорость роста популяции . Ясно, что если в начальный момент времени объем популяции равен нолю, то и в дальнейшем объем не изменится (некому будет размножаться). Если начальное значение объема популяции больше ноля, то дальнейший рост происходит по экспоненте         (или по геометрической прогрессии).

Формальная постановка задачи имела далеко идущие последствия для очень многих областей математики, экономики и биологии. Практически сразу несколькими математиками было замечено, что исчерпывание продовольственных (и других) ресурсов влияет на сам рост популяции: чем ближе объем популяции подходит к исчерпанию ресурса, тем ее рост медленнее, он может стабилизироваться, и тогда популяция переходит в стадию гомеостаза.

В 1834 году бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст(1804 — 1849) модифицировал модель Мальтуса и предложил так называемое логистическое уравнение:

dX = аX — BX2,

где в уравнение Мальтуса добавлен еще один член: BX2 , B — коэффициент,  отражающий интенсивность воздействия внутренних сдерживающих механизмов на скорость роста популяции. Значение BX2 — прямо пропорционально числу столкновений особей между собой. В свою очередь, число столкновений особей в популяции пропорционально скорости распространения различных заболеваний, напряженности конкурентных взаимоотношений, что способствует увеличению смертности и снижению рождаемости. То есть даже если продовольственных ресурсов достаточно, всем их все равно не хватит, что очень похоже на действительность.

Если объем популяции лишь немногим больше ноля, величина BX2 мала по сравнению с Х и может быть отброшена при решении, то есть при малых Х модель Мальтуса верна с высокой степенью точности; при значениях Х , приближающихся к значениям исчерпания ресурса, величиной BX2 пренебрегать уже нельзя — этот член влияет на решение и может привести его к стабилизации, то есть система придет в стадию гомеостаза.

Модель Мальтуса была модифицирована еще много раз. В XX веке в нее был добавлен уточняющий член, ответственный за диффузию или скорость расселения по новым территориям, была предложена модель, учитывающая рост ресурса, что совершенно разумно для популяции не животных, а людей, которые могут производить ресурс, а не только его потреблять, — в этом случае стабилизация наступит на более высоком уровне.

Мрачные прогнозы Мальтуса не оправдались, он исследовал ситуацию в очень спокойный период — большой удаленности от уровня исчерпания ресурса, только в этот момент население и могло расти в геометрической прогрессии.

Сегодня демографы в своих прогнозах не используют ни уравнение Мальтуса (что естественно), ни уравнение Ферхюльста, ни даже его дальнейшие модификации. Обычно в расчетах используется так называемый метод компонент [29] (или метод передвижки возрастов): прогноз демографического роста делается для каждого возраста с шагом в один год, учитывая характерные показатели рождаемости и смертности для этого возраста. Необходимые для расчета показатели для данного возраста в данной стране обычно получают эмпирически, учитывая реальную статистику.

Попытка формального описания закона роста народонаселения является примером объективного прогноза. Но, пытаясь решать задачу прогноза, мы сталкиваемся с отчетливым «субъективным» фактором — это контроль и стимулирование рождаемости. Тогда объективный закон перестает работать. Так бывает, когда государство принимает жесткие меры по сдерживанию рождаемости, что мы можем видеть на примере Китая, где правительство стремится к реализации ограничения «один ребенок на семью».

То есть будущее зависит от настоящего, от его субъективных предпочтений.

Вероятность предсказанного события в некотором смысле выше, чем непредсказанного. Просто потому, что вероятность наступления предсказанного события можно оценить, а вероятность непредсказанного не определена. Предсказанное событие как бы существует (хотя и как возможность). Высказывание «Завтра будет солнечная погода» может иметь довольно высокую вероятность, если это, например, высказывание московского мэра, который решил в праздничный день с помощью хорошо проработанных технологий осаждать или рассеивать дождевые облака на подходе к городу. А то, что поведение инвесторов и акционеров на фондовом рынке влияет на будущее самым непосредственным образом, вполне очевидно.

Естественно, чем событие глобальнее, чем оно дальше от субъекта, тем труднее влиять на него, но, с другой стороны, глобальные тренды довольно устойчивы, и отдельный человек или все человечество вполне способны если не предотвратить событие, то существенно изменить его последствия. Старинное «предупрежден значит вооружен» — безусловно верно. Падение астероида может означать нашу немедленную гибель, а может стать  грандиозным зрелищем, в зависимости от того, откуда мы его наблюдаем. А ведь для субъекта все-таки самое важное, что происходит именно с ним, а не с биржей, погодой или Вселенной.

Я приведу несколько примеров того, как сегодняшнее решение может изменить будущее, и оно приблизится к предсказанному или даже совпадет с ним.

Давайте рассмотрим современный метод экспертного прогнозирования — так называемый метод Дельфи. Работает он так. «Для подготовки прогноза по методу Дельфи организаторы набирают команду экспертов, которые работают анонимно и независимо друг от друга. Эксперты начинают с подготовки списков конкретных прогнозов или вопросов по заданной теме. Это могут быть достижения определенных показателей или сроки появления технологий. Организаторы выбирают наиболее часто встречающиеся в списках позиции и готовят опросник, в котором экспертам предлагается оценить реалистичность, полезность, сроки и условия для исполнения каждого прогноза. По ходу работы эксперты могут высказывать мнения и полемизировать, но только анонимно, через посредника, который вправе останавливать тупиковые дискуссии или менять постановку вопросов. Получив заполненные опросники, организаторы рассылают экспертам сводные результаты и мотивировки, чтобы те могли, изучив их, скорректировать свое первоначальное мнение. Эта процедура может повторяться несколько раз, пока взгляды группы не перестают существенно меняться. Тогда строится окончательная сводная таблица, сопровождаемая необходимыми комментариями» [30] . Конечно, такого рода предсказания исполняются не всегда, но если к ним прислушается серьезный заказчик, например международная корпорация или государство, вероятность того, что прогноз сбудется, достаточно велика.

Когда готовится такого рода прогноз, в опросе участвуют тысячи экспертов, выдвижение вероятных вариантов, голосование и окончательное сведение результатов могут длиться годами. Но вот простой пример использования очень близкой к методу Дельфи процедуры, правда применяемой для другой цели — ежегодного определения лауреата премии «Поэт». Координатор премии Сергей Чупринин так описывает процедуру работы жюри: «В конце февраля каждого года я как координатор премии рассылаю своим товарищам по жюри <…> электронное письмо с предложением назвать двух кандидатов на премию. Подчеркну, что именно двух, а не одного, причем без очередности, т. е. без первого или второго кандидата (как и в методе Дельфи, здесь принципиальна избыточность прогнозируемых вариантов, иначе метод может просто не дать согласованного результата. — В. Г. ). Тем самым уже в само основание этой премии заложена идея консенсуса — не один самый лучший, а двое равных, чтобы была возможность членам жюри как-то договариваться между собою, а не входить в непримиримое противоборство. Когда коллеги высказывают свои предпочтения, мы отсекаем те имена, что набрали только один голос, оставляем тех, кто набрал два, три, четыре, пять голосов, и снова запускаем это в рассылку, предлагая выбрать уже одно имя. Таким образом в два, а иногда в три тура проходит мягкое рейтинговое голосование, где лауреат выбирается не путем вражды, а посредством взаимного согласования» [31] .  В этом и заключается метод Дельфи (голосование заканчивается в тот момент, когда список перестает меняться), реализованный для получения ответа на один конкретный вопрос: «Кто получит премию „Поэт”?» В данном случае, поскольку ни от кого, кроме самих экспертов, результат не зависит, прогноз сбывается с вероятностью 100%. При реальном прогнозировании так, естественно, не бывает, но на этой модели хорошо виден механизм работы панели экспертов.