Рассматривая теории арифметики, может быть, ещё легче окончательно отдать себе отчёт в том, что все, даже и первые шаги математики начинается с рассмотрения идеального аспекта реальных предметов и ни один математический элемент никогда и нигде не «существует» реально.

Так, напр., современная математика выработала «точную аналитическую» теорию дробей, согласно которой дробь рассматривается как пара целых чисел. Среди оснований, побуждающих к этой теории, приводится следующее соображение: научная теория не может допускать существования вещи, «эмпирически» не данной; дроби (1/2, 3/4, и т. п.) эмпирически не даны, а единицы и вообще целые числа даны эмпирически; поэтому учение о дробях может удовлетворить строгим требованиям научности не иначе как, путём сведения дробей на отношения целых чисел.

С точки зрения гносеологии это рассуждение содержит в себе сочетание чрезвычайной логической щепетильности, с одной стороны, и грубого некритического эмпиризма, с другой стороны. В самом деле, не только дроби, но и математические единицы не даны «эмпирически» в том смысле, в каком даны палки, яблоки, зерна: математическая единица есть идеальный аспект предмета, данный не иначе как в интеллектуальной интуиции, т. е. только мыслимый, но не воспринимаемый чувственно и не наглядный [CCLXXXVII].

В той же интеллектуальной интуиции даны также и формы, мыслимые в понятиях дробей – 1/2, 3/4, и т. п. Никакого преимущества в смысле эмпирической данности одних из этих предметов перед другими: нет. Если обозначить словом «эмпирическая данность» также и данность идеальных, аспектов бытия в интеллектуальной интуиции, то и единицы, и дроби даны эмпирически. К тому же и те, и другие суть столь необходимые идеальные аспекты реальных предметов, что даже чувственное восприятие предметов стало бы невозможным, если бы выдернуть из них эти формы, точно так же как чувственное восприятие высокой ели, имеющей конусообразную форму, было бы невозможно без таких элементов её формы, как вертикальная линия, точка вершины и основания этой линии и т. п. (см. выше стр. 234).

Отказываясь брать исходным пунктом своих умозаключений идеальные данности, напр. точку границу, евклидовскую прямую и непосредственно усматриваемые аксиоматические положения, вытекающие из их природы, современный математик ссылается на то, что такие аксиомы не раз уже в истории науки оказывались ненадежными. Примером может служить пятый постулат Евклида, освобождение от которого привело к открытию неевклидовской геометрии.

В ответ на это следует заметить, что непосредственное усмотрение очевидных законосообразностей идеальных предметов никогда не бывает ошибочным, но, правда, легко может оказаться содержащим в себе тот недостаток, который можно назвать недоразвитостью знания. Он состоит в том, что в субъекте суждения (на известной ступени развития) остаются неопознанными некоторые элементы, необходимые для обоснования предиката или же, наоборот, в субъект включены элементы излишние и не опознано, что они не необходимы. Так, в пятом постулате Евклида не было опознано, что он имеет силу для пространства с постоянною кривизною, равною нулю. Однако и не внося в постулат этого ограничения, те лица, которые мыслили его, имея в виду евклидовское пространство, нисколько не заблуждались. Только тогда, когда лицо мыслящее этот постулат, придает ему слишком широкий объём, напр. когда противники Лобачевского или Болиаи воображали, что пятый постулат имеет силу для всякого пространства, они заблуждались [CCLXXXVIII].

Рассмотрев состав формальных общих идей, необходимо вслед за этим дать также отчёт о составе материальных общих идей. Здесь возникают ещё большие трудности. Прежде всего смущает то, что идеи невременны, а соответствующие им события суть нечто временное.

Чтобы решить эту трудность, рассмотрим чрезвычайно общую идею тесно связанную с временностью (еще более общую, чем движение) именно идею изменения.

В каждом единичном случае реального изменения определенный отрезок времени заполнен сплошно таким содержанием, которое в каждый следующий момент времени оказывается иным, чем в предыдущий момент. В идее изменения нет течения во времени. Отсюда возникает вопрос, может ли она иметь отношение к реальному, действительному изменению. Ответ на этот вопрос будет тот же, как и при рассмотрении идеи треугольника. Идея треугольника есть не треугольник, а треугольность; точно так же идея изменения есть не изменение, а изменяемость: понимаемый смысл этого термина есть сплошной ряд отличных друг от друга содержаний, принадлежащих тожественному носителю и обозреваемых как невременное единство, которое может быть осуществлено как временной ряд. К реальному изменению эта идея имеет самое непосредственное отношение: реальное изменение осуществляется во времени не иначе как на основе невременной идеи изменения, так что оно всегда оказывается не просто реальным, а идеально-реальным. Зависимость реального аспекта от идеального так велика, что даже воспринять изменение, как таковое, заметить, что оно имеет характер изменения можно, только имея в сознании, кроме реальных перемен, ещё идею невременного единства их: без этой идеи в сознании наблюдателя будут только скачки отдельностей, которые не только не образуют изменения но даже не могут быть предметом осмысленного восприятия. И наоборот, идея изменяемости, для полноты и жизненности понимания её требует иллюстрации хотя бы одним конкретным случаем изменения.

Кроме идеи изменения и единичных случаев изменения, познающий субъект способен ещё мыслить общее понятие изменения, т. е. мыслить разделительно весь класс воплощений идеи изменяемости, охватывая его в едином бесконечном созерцании [CCLXXXIX], напр. тогда, когда мы высказываем и понимаем закон «все изменения существуют не иначе как на основечего-либо неизменного».

Много недоразумений вызывает то свойство отвлеченно-идеального бытия, что оно может быть численно-тожественным во многих конкретных реальных процессах, совершающихся в различных местах пространства и в различные времена. Когда речь шла о формальных идеях, их общность была объяснена тем, что они суть способы действия субстанциальных деятелей, и тем, что эти деятели единосущны. Иначе объясняется то обстоятельство, что и материальные идеи (идеи содержания), напр. идея арии, могут быть тожественными для реальных процессов, напр. для многих случаев исполнения арии. Это можно понять следующим образом: многие деятели, напр. ученики искусного артиста, слушая исполняемую им арию, усваивают интуитивно одну и ту же идею арии. Эта идея не принадлежит к составу их сущности, она не может законосообразно определить их поведение; они свободно усваивают идею как основу для возможных актов реализации её во времени. Мало того, и реализация такой идеи есть свободный акт, только нормируемый идеею, но вовсе не вынуждаемый ею. Начав петь, артист может заметить акустические особенности зала, или утомление слушателей, или наличность у них особенных настроений и интересов в связи с каким-либо важным общественным событием; под влиянием этих наблюдений у него может зародиться новый творческий замысел, видоизменение той идеи, с которою он явился на сцену, и тогда даже в средине исполнения он может перейти к осуществлению иного идеального плана, чем начальный.

Отсюда следует, что идеи рождаются во времени, вследствие чего возникает следующий недоуменный вопрос: как это возможно, если они не временны. Ответ на него таков. Отвлеченные идеи не сверхвременны как субстанциальные деятели, а только невременны. Творческий акт субстанциального деятеля, создающего новый план, есть событие, протекающее во времени, но творимая им идея, как возможность, предлежащая для реализации, есть нечто невременное и, однако, через связь свою с актом она может быть отнесена к определенному времени; таким образом, можно говорить о времени появления отвлеченной идеи, хотя сама идея не есть нечто текущее во времени. Тут есть аналогия с такими аспектами пространства и времени, как, напр., точка и момент: точка не имеет протяженности, однако можно говорить о её положении в протяженности пространства.