Общая структура апогогического доказательства (или доказательства от противного) может быть выражена формулой:

((¬А → В) ∧ ¬В)) → А.

Разделительно-категорическое доказательство основывается на разделительно-категорической демонстрации аргументов, о которой шла речь выше. Там мы убедились, что если исключаются все гипотезы или предположения, кроме одного-единственного, то тем самым косвенно доказывается истинность этого оставшегося предположения. Но зачастую это не освобождает нас от прямого, непосредственного доказательства, когда речь идет, например, о доказательстве виновности подсудимого.

В широком смысле слова под опровержением подразумевается процесс рассуждения, с помощью которого обосновывается либо ложность выдвигаемого тезиса, либо отдельных посылок, либо умозаключения в целом. В этом отношении опровержение отличается от доказательства, которое считается несостоятельным, когда по крайней мере одна из его посылок является ложной либо посылки считаются сомнительными, не говоря уже о необходимой логической связи между посылками и тезисом доказательства.

Итак, следует различать три основных способа опровержения.

1. Первый способ относится к опровержению аргументов, служащих основой рассуждения. Факты, на которые опирается аргументация, заслуживают особо тщательного обоснования, ибо именно на них опираются все наши обобщения, эмпирические и теоретические законы. Обнаружение новых фактов, полученных в результате тщательных и систематических наблюдений, специально проведенных экспериментов и практической деятельности, приводит к опровержению целого ряда предложений, гипотез, концепций и общепринятых мнений.

Обычно аргументы, опирающиеся на законы науки, оказываются наиболее надежными средствами аргументации, но и они с течением времени подвергаются уточнению, обобщению и исправлению. С такой широкой точки зрения прогресс науки всегда сопровождается опровержением целого ряда ранее принятых ее положений, хотя при этом всегда сохраняется преемственность между новым и старым знанием. Однако логика не рассматривает процесс опровержения в таком широком контексте.

2. Второй способ опровержения связан с анализом необходимой логической связи между аргументами и тезисом, которые служат соответственно посылками и заключением дедуктивного вывода. Если такая связь отсутствует, то тем самым опровергается истинность заключения, т.е. демонстрируется, что тезис логически не вытекает из посылок.

3. Третий способ относится к опровержению самого тезиса. В принципе такое опровержение может быть применено к любому утверждению.

Для этого в науке используются различные приемы рассуждений, основанные на выведении логических следствий из опровергаемого утверждения. Наиболее часто используется, например, прием, получивший название "приведения к нелепости" (reductio ad absurdum). В отличие от косвенного доказательства от противного, в данном случае опровергаемое утверждение принимается в качестве истинного, и тем самым исключается окольный путь доказательства. Из него выводятся логические следствия, некоторые из них оказываются явно противоречащими хорошо известным истинам, так что они рассматриваются как нелепые или абсурдные. На этом основании доказательство такого рода получило название приема сведения к абсурду. Поскольку следствие оказывается ложным, то по отрицательному модусу условного умозаключения опровергается исходное утверждение (или тезис). Необходимо, однако, подчеркнуть, что рассмотренный прием опровержения нельзя применить к совершенно новым положениям науки, следствия из которых кажутся абсурдными с точки зрения так называемого "здравого смысла" или ходячих мнений и представлений, какими казались первоначально, например, теоремы неевклидовой геометрии, которую сам Лобачевский из осторожности называл воображаемой. Действительно, даже математики того времени не могли допустить, что параллельные линии могут сходиться и пересекаться, а сумма углов треугольника зависит от величины его сторон. В значительной мере подобные возражения связаны с отождествлением абстрактной геометрии с эмпирической, чисто логических рассуждений - с практическими. Не меньшие возражения вызывает теория бесконечных множеств Г. Кантора, в которой бесконечное множество уподобляется конечному, вследствие чего часть множества (или подмножество) оказывается эквивалентной целому множеству. Так, множество натуральных чисел считается эквивалентным (или равномощным) множеству всех рациональных чисел, а множество четных чисел - всему множеству натуральных чисел. С точки зрения "здравого смысла" и традиционных представлений эти результаты кажутся абсурдными. Поэтому необходимо помнить, что доказательства путем приведения к абсурду не имеют ничего общего с радикально новыми открытиями науки. Когда речь идет о приведении к абсурду или нелепости, то имеются в виду противоречия с истинами, законами, аксиомами и принципами, которые являются общепризнанными в определенный период времени и имеющими общенаучный характер.

В процессе доказательства и опровержения используются, как мы видели, самые разные способы умозаключения. Поэтому, очевидно, что для доказательства или опровержения того или иного тезиса необходимо соблюдать те логические правила, которые относятся к соответствующим способам умозаключений. Но кроме этих специфических правил существуют общие правила доказательств и опровержений, в которых формулируются требования к их составным частям - к тезису, аргументам и способам построения самих доказательств.

1. Правила, относящиеся к тезису, заключаются в том, чтобы на протяжении всего рассуждения, ведущего к доказательству, тезис оставался тем же самым. Кратко это требование можно сформулировать как правило тождества тезиса. Необходимо также стремиться к тому, чтобы тезис был сформулирован ясно и точно, ибо в противном случае невозможно убедиться в том, является ли он тем же самым.

При нарушении правила о тождестве тезиса возникает ошибка, которая называется подменой тезиса. Такие ошибки чаще всего встречаются в ходе спора или полемики. Наиболее распространенными ошибками подобного рода является подмена спора из-за тезиса спором из-за его доказательства. Так, например, на суде адвокат может убедительно доказать, что доводы обвинения не являются обоснованными и поэтому его подзащитный не может считаться виновным. Некоторые люди из этого обычно заключают, что раз виновность не доказана, то подсудимый вообще невиновен. В точном и строгом смысле слова в данном случае следует говорить лишь о несостоятельности доказательства обвинения, но не о доказательстве невиновности подсудимого. Нередко подмена тезиса происходит путем раскрытия противоречий в рассуждениях оппонента, между его словами и делами, взглядами и поведением. С логической точки зрения, нетрудно понять, что во всех этих случаях происходит подмена тезиса, ибо он не опровергается, а только показывается несостоятельность и необоснованность его доказательства либо путем использования ненадежных доводов, либо путем раскрытия противоречий в рассуждениях, либо, наконец, путем приведения таких фактов из жизни и поведения оппонента, которые не имеют никакого отношения к доказываемому тезису. Ведь тезис остается истинным, даже если его доказательство будет ложным, и его истинность не зависит от того, кто высказывает его, пусть даже это будет человек, который вам совершенно не нравится.

Другой разновидностью ошибок, связанных с нарушением тождества тезиса, является отступление от него в процессе рассуждения. Самой грубой формой можно назвать прямой отход от исходного тезиса обычно в середине спора или полемики; происходит это чаще всего тогда, когда сам тезис сформулирован недостаточно определенно, ясно и точно. При этом отступление может быть незаметным, не сразу бросающимся в глаза и потому считаться несущественным изменением формулировки тезиса, но тем не менее, это уже будет не прежний тезис. В логической литературе различают разные способы отступления от тезиса, начиная от простого, грубого перехода от прежнего тезиса к другому и кончая так называемыми диверсиями. Суть последних состоит в том, чтобы перевести спор на другую тему и вместо первоначального тезиса незаметно выдвинуть другой тезис, как-то связанный с исходным, но не тождественный с ним.