1. В ходе доказательства, особенно в устной речи, не все аргументы, служащие посылками умозаключений, выражаются в явном виде. Так, в полисиллогизмах одна или другая посылка нередко пропускается, если собеседники или слушатели легко ее подразумевают. В таком случае перед нами будет сокращенный полисиллогизм, или сорит. Различают сориты аристотелевского типа, когда пропускается меньшая посылка, и гоклиниевского, где пропускается большая посылка. Пример аристотелевского сорита:

Буцефал есть лошадь.

Лошадь есть четвероногое,

Четвероногое есть животное.

Животное есть субстанция.

Буцефал есть субстанция.

Процесс умозаключения здесь по сути дела, можно представить как последовательное включение субъекта в объем предиката, а последнего - в объем следующего предиката и т.д. На основании анализа структуры умозаключения мы приходим к выводу, что заключение в нем, а, следовательно, тезис должны быть истинными.

Простейшие рассуждения такого типа часто встречаются, например, в математике, когда приходится сопоставлять различные классы (объемы) понятий. Для иллюстрации приведем случай гоклиниевского сорита.

Все рациональные числа - действительные числа.

Все натуральные числа - рациональные числа.

Все четные числа - натуральные числа.

2 - четное число.

2 - действительное число.

Особенно часто для демонстрации обращаются к условным, условнокатегорическим и условно-разделительным умозаключениям. Некоторые из них мы уже рассматривали в гл.4, а здесь остановимся лишь на более сложных и специфических их формах.

2. Если имеется цепь условных посылок, причем известно, что каждая из них истинна, а также истинно основание первой условной посылки, то нетрудно убедиться, что в этой цепи будет истинно и следствие, а тем самым заключение всей цепи посылок. В самом деле, если из А следует В, а из В следует С, из С следует D, а из D следует Е, тогда можно утверждать, что Е - истинно. Действительно, если из А следует В и А истинно, то по правилу утверждающего модуса условно-категорическое умозаключение В также будет истинным. Точно так же убеждаемся в истинности В, D и, наконец, Е. Обратите внимание, что в такого рода демонстрациях, часто называемых обусловливающими, должны быть непременно выполнены два требования: все условные суждения, которые в своей совокупности составляют общую посылку умозаключения, должны быть истинными; основание первого условного суждения должно быть также истинным. Именно эти требования делают возможным применение утверждающего модуса условно-категорического вывода для получения истинного заключения, так как благодаря истинности основания первого условного суждения выводится истинность основания второго условного суждения и т.д., вплоть до основания последнего условного суждения.

3. Другой способ демонстрации с помощью условных умозаключений называется опровергающим доказательством. В этом случае, однако, речь может идти только об отдельном истинном суждении, а не цепи таких суждений:

Из А следует В

В - ложно

Следовательно, А - ложно.

С помощью отрицающего модуса из ложности следствия выводится ложность основания условно-категорического умозаключения.

Поскольку из ложности основания истинного условного суждения можно вывести как истину, так и ложь, то перенос истинности на цепь условных суждений в данном случае становится невозможным.

Опровергающие доказательства, о которых пойдет речь ниже, широко используются как в науке, так и в практике. Одним из примеров может служить принятое в юриспруденции доказательство невиновности в непосредственном совершении преступления обвиняемым посредством опровержения предположения, что он это сделал, когда устанавливается его отсутствие в данном месте в определенный период времени, т.е. alibi обвиняемого.

4. В демонстрациях, где используются разделительные суждения, истинность тезиса доказывается путем исключения всех возможных гипотез, кроме одной- единственной, которая и будет истинной.

При этом предполагается, что все гипотезы будут взаимно исключать друг друга, а в совокупности исчерпывать класс всех возможных гипотез. Так, если подозрение падает на нескольких лиц, то путем последовательного исключения других лиц, обвинение будет предъявлено только одному из них. Но это обвинение должно быть доказано путем специального расследования. Поэтому такие доказательства называют не прямыми, а косвенными.

5. Индуктивные умозаключения, как правило, не применяются в доказательствах. Исключение составляют только полная и математическая индукция, которые, как известно, приводят к достоверным заключениям. Полная индукция используется тогда, когда число возможных случаев невелико и все они исчерпывают всю совокупность возможностей. Математическая индукция является специфическим способом доказательства, опирающимся на особые свойства построения чисел натурального ряда.

6. Специфические приемы доказательства применяются не только в математике, но и в других науках. Мы уже упоминали о генетических доказательствах, к которым прибегают историки и специалисты других гуманитарных наук. В них речь идет о точной, достоверной передаче истинного факта, события или явления, происшедшего в прошлом. Такие доказательства нельзя признать, однако, чисто логическими, так как при их проведении приходится обращаться к специальному исследованию конкретных исторических источников и способов их передачи.

Прямым называется доказательство, в котором тезис выводится из аргументов по правилам дедуктивных умозаключений. Никаких дополнительных приемов рассуждения при этом не используется. Если аргументы истинны, то тезис из них следует с логической необходимостью и достоверностью. Так в математике доказывается большинство теорем.

Косвенным доказательством называют доказательство, в котором сначала доказывается антитезис, а затем уже, убедившись в ложности антитезиса, доказывают истинность тезиса. Таким образом, косвенное доказательство начинается с того, что выдвигается допущение, противоречащее тезису. Затем из этого предположения выводятся следствия, которые оказываются противоречащими ранее известным или доказанным истинам. По отрицающему модусу условного умозаключения отсюда следует ложность антитезиса, который является нашим предположением. Из ложности антитезиса мы выводим заключение об истинности тезиса. Обратите внимание, что доказательства такого рода основываются в конечном счете на законе исключенного третьего, применение которого оспаривается некоторыми математиками в отношении к бесконечным множествам.

Такой способ непрямого (или косвенного) доказательства античные логики называли апогогическим, что в переводе с древнегреческого означает отход или отклонение от непосредственного разбора аргументов. Математики называют его доказательством от противного, поскольку при этом приходится доказывать утверждение противоречащее тезису. Очевидно, что косвенные доказательства, в том числе и апогогические, проводить сложнее, так как при этом приходится выводить следствия из антитезиса и сопоставлять их с тезисом. Найти же противоречащее тезису утверждение в ряде случаев оказывается не так просто. К тому же, окольный путь доказательства нередко воспринимается как менее убедительный, чем прямой. По-видимому, именно это обстоятельство имел в виду А. Шопенгауэр, когда сравнивал некоторые математические доказательства с мышеловками. Тем не менее, апогогические доказательства совершенно необходимы тогда, когда приходится доказывать даже теоремы элементарной геометрии.

Достаточно обратиться к любому курсу элементарной геометрии, чтобы убедиться в том, что уже простейшие ее теоремы, например о равенстве треугольников, доказываются с помощью допущения, противоречащего доказываемому. Затем из него выводится следствие, которое оказывается ложным или даже абсурдным. На этом основании по правилу modus tollens делается заключение о ложности допущения, а уже из него по закону исключенного третьего выводится истинность доказываемого тезиса.