Перевод рассуждений с естественного языка на язык исчисления высказываний, как мы видели в предыдущей главе, наталкивается на серьезные трудности потому, что сильно искажает реальный процесс рассуждений, в котором интересуются не только различными связями суждений друг с другом, но и структурой самих суждений. Исчисление предикатов дает возможность более адекватно отобразить рассуждения, ведущиеся на естественном языке.
Для исчисления предикатов прежде всего устанавливается универсум рассуждения или предметная область объектов, о которых идет речь. Заранее устанавливать, из каких именно объектов состоит универсум рассуждения, не требуется. Достаточно допустить, что такой универсум существует. Далее следует выбрать предикаты (или пропозициональные функции), с помощью которых формулируются логические отношения между переменными. Каждый из выбранных предикатов становится высказыванием, когда все его переменные принимают какое-либо значение из универсума рассуждений, т.е. когда переменные становятся объектами (элементами) универсума рассуждения. Полученное высказывание будет либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно. Затем выбирается соответствующая символика для окончательного перевода естественного рассуждения на язык исчисления предикатов. Разумеется, при этом приходится делать определенные упрощения, ибо логика ставит своей целью исследование связи мыслей в рассуждении, выводов из одних суждений к другим.
Преимущество исчисления предикатов перед силлогистикой Аристотеля состоит не только в более широком анализе различных видов умозаключений, но и в точности и ясности получаемых заключений. В этом можно убедиться, если представить в символической записи категорические суждения, которые рассматриваются в силлогистике Аристотеля. Общеутвердительное суждение в исчислении предикатов записывается в виде: (х) (S(x) → Р(х)), где S и Р обозначают соответственно субъект и предикат. Общеотрицательное суждение можно представить как ¬ (Ex) (S(x) ∧ Р(х)), частноутвердительное - как (Ex) (S(x) ∧ Р(х)), частноотрицательное - как (Ех) (S (х) ∧ ¬ Р(х)).
При переводе с естественного языка на символический как раз и обнаруживается двусмысленность употребления общих суждений, подобная той, которая связана с использованием в разговорном языке союза "или". В предыдущей главе, говоря о союзе "или", мы различали его употребление во включающем и исключающем смысле, т.е. объединительную и разделительную дизъюнкцию. Аналогично этому при логическом анализе общих суждений атрибутивного характера нет необходимости предполагать заранее универсум
рассуждения пустым множеством, хотя и в повседневных рассуждениях. В аристотелевской силлогистике также считают, что такой универсум является непустым множеством. Однако в современной логике допускают, что в суждении "Все S есть F" множество может оказаться и пустым, а само суждение следует тогда считать истинным. Подобных трудностей не возникает с употреблением частных суждений, где существование по крайней мере одного объекта множества постулируется квантором существования.
Современный подход к интерпретации общих категорических суждений более предпочтителен хотя бы потому, что заранее не всегда известно, пуста или не пуста область значений субъекта с определенными предикатами, т.е. существуют ли предметы с данными свойствами. Для того чтобы представить аристотелевскую интерпретацию силлогистики, достаточно дополнить символическое представление общего категорического суждения квантором существования.
Проверьте себя
1. Почему предикат можно рассматривать как пропозициональную функцию? Пусть предикат выражает отношение "больше" по величине между числами: х > у.
1) При каких значениях х и у он образует истинные и ложные высказывания?
2) Тот же вопрос, если х = у.
2. Что называют универсумом рассуждения?
1) Определите универсум рассуждений формул х2 + 1 = 0 и х2 - 1 = 0.
2) Каков универсум определения "Все четные числа делятся на 2"?
3) Определите универсум рассуждения "Все студенты нашей группы получают стипендию".
3. Чем отличаются свойства от отношений и как они выражаются символически?
Переведите на символический язык следующие утверждения:
1) "Москва - столица России и находится южнее Санкт-Петербурга".
2) "Золото - металл и ценится дороже серебра".
3) "Если человек заболел гриппом, то у него повышается температура".
4. Какие переменные называются свободными и связанными? Определите область действия кванторов в следующих формулах:
1) (х) (А(х) → В(х)) ∨ С(х); (Ех) (А(х) ∨ B(x));
2) (х) (Еу) (х < у);
3) (х)(у)(х + у = у + х).
5. Преобразуйте следующие суждения с кванторами общности в суждениях с кванторами существования и запишите их в символах:
1) "Если существуют несправедливые приговоры, то не все приговоры справедливы".
2) "Если в любом треугольнике сумма внутренних углов составляет 180°, то не существует треугольника, для которого эта теорема ложна".
3) "Если все работы сдаются в срок, то не существует отстающих";
4) "Если этого он не сделает, то не найдется того, кто это сделает".
6. Чем отличается исчисление предикатов от исчисления высказываний? Можно ли рассматривать последнее как частный случай первого? Обоснуйте свой ответ.
7. Как установить, следует ли формула В из формул А1, А2,..., Am, в исчислении предикатов?
8. Какие проблемы в логике считаются разрешимыми и неразрешимыми?
Разрешима ли проблема определения тавтологии в исчислении высказываний? Проверьте это для формулы: А → В ~ ¬ А ∨ В.
9. Правильно ли построены следующие силлогизмы?
1) Все рыбы дышат "жабрами". Кашалот не дышит жабрами. Следовательно, кашалот - не рыба".
2) "Мысль - это движение. Движение есть свойство всей материи. Значит, мысль есть свойство всей материи".
3) "Логика изучает формы и законы правильного мышления. Учение о понятии есть часть логики. Следовательно, оно изучает законы и формы правильного мышления".
4) "Всякий предмет состоит из молекул. Логика не состоит из молекул. Следовательно, логика не является предметом".
5) "Истинное суждение правильно отражает действительность. Данная мысль правильно отражает действительность. Следовательно, она является истинным суждением".
10. Превратите следующие силлогизмы в энтимемы.
1) "Липа поглощает углекислоту, так как липа - растение, а все растения поглощают углекислоту".
2) "Ни одна планета не светит собственным светом, но многие тела в Солнечной системе - не планеты, поэтому некоторые тела Солнечной системы светят собственным светом".
3) "Все учителя - педагоги, он учитель, следовательно, он педагог".
11. Являются ли следующие суждения энтимемами:
1) "Поскольку он юрист, он должен знать права человека".
2) "Раз вы не знаете правил логики, то не можете понять ошибки в рассуждении".
3) "Вода замерзла, так как температура понизилась".
12. Найдите ошибку в рассуждении:
1) "Предполагая 2 х 2 = 8 и отнимая от обеих частей по 6, получим -2 = 2. Возведя обе части в квадрат, найдем, что 4 = 4. Значит, 2 х 2 = 8".
13. Определите, правильно ли сделаны следующие выводы:
1) "Если курение вредно, то следует бросить курить. Но некоторые курят без вреда здоровью. Следовательно, не стоит бросать курить".
2) "Если два числа равны друг другу, то их квадраты также равны. Квадраты этих чисел равны. Следовательно, заданные числа также равны".
3) "Иванов может учиться на психологическом, юридическом или экономическом факультете. Он не учится ни на психологическом, ни на юридическом факультете, следовательно, он учится на экономическом факультете".
