Несмотря на то, что ранее это не указывалось, обсуждение темпов роста и стабильного распределения фактически требовало предположения о том, что

. Если углубиться в этот вопрос, то придем к довольно существенному выводу: основные черты качественного поведения моделей – синтетического роста и стабильного распределения – являются независимыми от их собственного вектора. Только доминирующий собственный вектор и собственное значение говорят о наиболее важных особенностях модели. Этот результат иногда называют сильной эргодической теоремой для линейных моделей или, в контексте популяционных моделей, фундаментальной теоремой демографии.

Хотя определенные варианты значений

 могут привести к , это происходит очень редко; для большинства вариантов  ожидается . Более того, во многих случаях можно доказать, что  для всех статистически значимых вариантов значений .

Пример. Рассмотрим модель Ашера для популяции с двумя классами стадий, заданными матрицей перехода

.

Поскольку есть только два класса, можно сделать некоторые предположения относительно того, как должна измениться популяция. Обратите внимание, что каждая взрослая особь производит двух потомков, но только половина из них доживает до зрелого возраста. Если бы нижний правый элемент не был бы равен

, можно было бы ожидать стабильного размера популяции, но небольшая часть взрослых особей, выживает после каждой итерации и, следовательно, размножаются снова, это должно привести к росту популяции. Поскольку доля взрослых особей, выживающих в течение дополнительного временного этапа, невелика, популяция, вероятно, будет расти медленно.

Воспользуемся компьютером для вычисления собственных векторов и собственных значений.

P=[0, 2; .5, .1]

[V,D]=eig(P)

Получим

 , .

Это означает, что если задать первоначальную популяцию, которая здесь не была приведена, как

 , для некоторых чисел  и  все будущие популяции будут предопределены следующим образом: .

Первое слагаемое срок здесь приведет к медленному росту, в то время как второе слагаемое уменьшается в размерах. Обратите внимание, что знак собственного значения во втором члене заставит числа в этом члене колебаться между отрицательными и положительными значениями постепенно приближаясь к нулю. Это означает, что если выберем любую начальную популяцию, рассчитаем будущие популяции и построим их график, то должны ожидать медленной экспоненциальной тенденции роста с наложенным на нее затухающим колебанием. Можно это увидеть на примере двух вариантов начальных векторов популяции на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3. Две симуляции линейной модели обнаруживают схожие качественные характеристики, несмотря на разные начальные значения.

Стабильное распределение ступеней модели задается вектором

. Несмотря на то, что популяция продолжает расти, по прошествии достаточного количества времени можно наблюдать популяцию из двух классов примерно в постоянной пропорции . То есть на каждого взрослого будет около  незрелых.

Было доказано много теорем о конкретных типах матриц, появляющихся в моделях Лесли и Ашера. Одной из них является следующая.

Теорема. Модель Лесли, в которой две последовательные возрастные категории являются фертильными (т. е. имеющие как

, так и ), будет иметь положительное реальное строго доминирующее собственное значение и, следовательно, стабильное распределение по возрасту.

Хотя такие теоремы полезны для общих утверждений о том, как должны вести себя популяции, когда дело доходит до какой-либо конкретной модели, всегда необходимо фактически найти собственные векторы и собственные значения.

Завершим параграф небольшим экскурсом в комплексные числа. Как увидите в дальнейшем, вычисляемые в приведённых выше примерах собственные векторы и собственные значения, немного вводят в заблуждение, поскольку собственные векторы и собственные значения часто оказываются с комплексными числами вида

, содержащими вместе с действительными числами  и  мнимую единицу , то есть такое число, для которого . Ясно, что среди действительных чисел такой единицы не существует. Несмотря на это, дальнейшее обсуждение асимптотического поведения динамических моделей будет возможным, если понять, как вычислить модуль комплексного числа.

Определение.  Модуль комплексного числа

 равен  .

Обратите внимание, что если

, то это обычное значение абсолютного значения для вещественных чисел. Кроме того, , а  только тогда, когда , как и хотелось бы для чего-то, что претендует на измерение числа по абсолютной величине. Менее очевидными свойствами являются перечисленные в теореме:

Теорема. Для любых вещественных чисел

,

а)

б)

в)

.

Обратите внимание, что все три свойства модуля очевидно верны и в частном случае, когда

 и , тогда абсолютное значение просто означает то, с чем знакомы для вещественных чисел.

Доказательство утверждения (а) представляется как упражнение и просто требует аккуратно выполнить умножения с каждой стороны. Утверждение (б) получается неоднократным применением (a) к самому себе, так как

. Утверждение (в) также следует из (а), если предварительно умножить уравнение (в) на , чтобы освободиться от знаменателя.