3            

…           …

Строки в таблице 2.2 описываются одной формулой

. Это означает, что, когда начальный вектор является собственным вектором, моно вывести простую формулу для всех последующих значений . Заметим, что эта формула использует скалярную экспоненту точно так же, как было в соответствующей формуле из линейной модели главы 1. Единственное различие заключается в том, что экспонента умножается на собственный вектор начальных значений популяции, а не на единственное начальное значение популяции, используемое в главе 1.

Пример. Если модель леса с

 и вектор начальных значений , то получим . Таким образом, с увеличением времени компоненты вектора  будут уменьшаться, хоть и довольно медленно, но до 0.

Есть, по крайней мере, два вопроса, которые вызывают лёгкое недоумение при первом изучении темы: 1) Поскольку численности групп в популяции не могут быть отрицательными, как в этой модели интерпретировать собственный вектор с отрицательными компонентами? 2) Как был найден собственный вектор

? Далее обратимся к первому из этих вопросов, а второй ожидает рассмотрения в следующем разделе.

Зададимся вопросом об интерпретации собственных векторов на примере лесной модели с матрицей

, которая имеет два собственных вектора. Если начинать моделирование с численности популяции, которая не является одним из собственных векторов, то как тогда использовать собственные векторы, для описания динамики повеления модели?

Ключевая идея состоит в том, чтобы попытаться выразить начальный вектор значений численности популяции в терминах собственных векторов. В частности, учитывая начальный вектор популяции

, найдём два скаляра,  и , такие, что .

Задача эквивалентна решению матричного уравнения

.

Заметим, что матрица, появляющаяся в этом уравнении, имеет собственные векторы матрицы

 в качестве своих столбцов. Составленное уравнение можно решить при условии, что такая матрица обратима. Итак, была проиллюстрирована 2 × 2- версия следующей теоремы.

Теорема. Пусть

 это -матрица, имеющая  собственных векторов, образующих столбцы матрицы . Тогда, если  обратима, то любой вектор представим линейной комбинацией собственных векторов.

Пример. Когда проводилось численное исследование модели леса, использовали исходный вектор популяции

. Матрица собственных векторов равна . Чтобы решить уравнение , вычисляем . Таким образом, поучили . Следовательно, .

Техническое замечание: не каждая матрица имеет собственные векторы, которые можно использовать в качестве столбцов для формирования обратимой матрицы

. Однако можно доказать, что если матрица не обладает свойством обратимости, то, изменив её элементы на «сколь угодно малую» величину, можно получить матрицу, которая будет обратимой. Более того, «почти все» матрицы в действительности обладают свойством обратимости – если генерировать матрицу случайным образом, то она с вероятностью близкой в 1 имеет свойство обратимости. Последствия этих фактов для применения теории собственных векторов к математическим моделям заключаются в том, что нет необходимости беспокоиться о недостаточном количестве хороших собственных векторов.

Теперь, когда пришло понимание, как выразить вектор начальных значений через собственные векторы, возникает естественный вопрос, где использовать это выражение? Пусть

-матрица  имеет  собственных векторов , чьи собственные значения равны  соответственно. Представим начальный вектор  как . Тогда получим, . Но каждый член последнего выражения представляет собой результат умножения матрицы  на собственный вектор, поэтому .

Теперь

, и поскольку каждый член это опять-таки результат умножения матрицы  на собственный вектор, получим . Продолжая умножение на , получаем общую формулу .

Понимание природы собственных векторов позволило найти формулу для вычисления значений

 в любой момент времени . Обратите внимание на сходство этой формулы с соответствующей для мальтузианской модели главы 1. Хотя есть несколько слагаемых, по своей совокупности каждое из них имеет простую экспоненциальную форму, которая уже знакома.

Пример. Для популяции, возникающей в ходе численного эксперимента с моделью леса, ранее уже представлялся

. Теперь можно спокойно вычислить значение вектора  при любом наперёд заданном .

Таким образом, найдена формула, дающая значения любой из строк в таблице 2.1, которые изначально получались в результате громоздких вычислений. Попробуйте выбрать несколько произвольных значений

, чтобы убедиться в том, как получаются ровно те же результаты, которые ранее были занесены в таблице. Отметим также, что выведенные формулы дают возможность ясно понять, как именно популяция приближается к равновесию в точке  по мере роста значений .