Если каждая точка какой-либо линии является точкой равновесия, то такая линия называется Линией равновесия.
Условия того, что точка является точкой равновесия, имеют вид.
𝑑𝑉
𝑑𝑥
=
0,
𝑑𝑉
𝑑𝑦
=
0,
𝑑𝑉
𝑑𝑧
=
0.
Таким образом, в такой точке величина 𝑉 максимальна, минимальна или стационарна по отношению к вариациям координат. Но потенциал может иметь максимум или минимум только в точке, несущей положительный или отрицательный заряд или же в конечной области, ограниченной положительным или отрицательным поверхностным зарядом. Поэтому, если в части поля, не несущей: заряда, существует точка равновесия, то это точка стационарности потенциала, а не точка максимума или минимума.
Действительно, условие максимума или минимума заключается в том, что
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
,
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
и
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
должны быть все отрицательны или положительны, если они имеют конечные значения.
Но согласно уравнению Лапласа, в точке, где нет заряда, сумма этих трёх величин равна нулю, так что это условие невыполнимо.
Вместо того чтобы исследовать аналитические условия для случаев, когда все составляющие силы одновременно обращаются в нуль, мы дадим общее доказательство с помощью эквипотенциальных поверхностей.
Если в какой-либо точке 𝑃 достигается истинный максимум 𝑉, то во всех других точках в непосредственной окрестности 𝑃 значения 𝑉 меньше, чем в 𝑃. Следовательно, 𝑃 окружено системой замкнутых эквипотенциальных поверхностей, каждая из которых охватывает предыдущую, и во всех точках какой-либо из этих поверхностей электрическая сила направлена наружу. Но мы доказали в п. 76, что поверхностный интеграл от электродвижущей напряжённости по любой замкнутой поверхности даёт полный заряд внутри этой поверхности, умноженный на 4π. В этом случае сила направлена всюду наружу, так что этот поверхностный интеграл обязательно положительный, и, значит, внутри поверхности имеется положительный заряд, а так как мы можем взять эту поверхность сколько угодно близкой к 𝑃, то положительный заряд имеется в точке 𝑃.
Точно так же можно показать, что если 𝑉 имеет в 𝑃 минимум, точка 𝑃 заряжена отрицательно.
Пусть теперь 𝑃 - точка равновесия в области, лишённой зарядов. Опишем, вокруг 𝑃 сферу очень малого радиуса. Как мы видели, потенциал не может быть на этой поверхности всюду больше, чем в 𝑃, или всюду меньше, чем в 𝑃. Следовательно, в некоторых местах поверхности он больше, чем в 𝑃, а в некоторых меньше. Эти участки поверхности разделяются линиями, на которых потенциал равен потенциалу в точке 𝑃. Вдоль линий, проведённых из 𝑃 в точки, где потенциал меньше, чем в 𝑃, электрическая сила направлена от 𝑃, а вдоль линий, проведённых в точки с большим потенциалом, сила направлена к 𝑃. Следовательно, точка 𝑃 является для одних направлений точкой устойчивого равновесия, а для других - точкой неустойчивого равновесия.
113. Чтобы определить количество точек или линий равновесия, рассмотрим поверхность (или поверхности), на которых потенциал равен заданному значению 𝐶 Назовём области, в которых потенциал меньше 𝐶, отрицательными, а области, в которых он больше 𝐶, положительными. Пусть 𝑉0 - наименьшее, a 𝑉1 - наибольшее значение потенциала в электрическом поле. Если положить 𝐶=𝑉0, то отрицательная область будет включать лишь точку или проводник с наименьшим потенциалом, который обязательно заряжен отрицательно. Положительную область образует остальное пространство, и, поскольку она окружает отрицательную область, она является перифрактической областью (см. п. 18).
Если теперь увеличить значение 𝐶, то отрицательная область увеличится и образуются новые отрицательные области вокруг отрицательно заряженных тел. Для каждой образуемой таким образом отрицательной области требуется одна степень перифрактичности окружающей положительной области.
По мере расширения различных отрицательных областей две или несколько областей могут сомкнуться в какой-либо точке или по линии. Если смыкаются 𝑛 поверхностей, то положительная область теряет 𝑛+1 степеней перифрактичности, а точка или линия смыкания является точкой или линией равновесия 𝑛-й степени.
Когда 𝐶 становится равным 𝑉1 то положительная область сводится к точке или к проводнику с наибольшим потенциалом и, следовательно, имеет нулевую степень перифрактичности. Следовательно, если каждую точку или линию равновесия считать один, два или 𝑛 раз в соответствии с её степенью, то полное число подсчитываемых так точек или линий равновесия будет на единицу меньше числа отрицательно заряженных тел.
Есть ещё другие точки или линии равновесия, получающиеся при образовании разделённых положительных областей и повышении перифрактичности отрицательной области. Число таких точек или линий равновесия, подсчитываемое с учётом их степени, на единицу меньше числа положительно заряженных тел.
Назовём точку или линию равновесия положительной, если она находится на стыке двух или нескольких положительных областей, и отрицательной, если она находится в месте соединения отрицательных областей. Тогда при 𝑝 положительно заряженных телах и 𝑛 отрицательно заряженных телах сумма степеней положительных точек или линий равновесия равна 𝑝-1, а отрицательных - 𝑛-1. При этом бесконечно удалённую поверхность, окружающую электрическую систему, считают телом с зарядом, равным по величине и противоположным по знаку сумме зарядов системы.
Однако кроме этого определённого числа точек или линий равновесия, получающихся при соединении различных областей, могут быть и другие, о которых мы можем лишь сказать, что их должно быть чётное число. Потому что если при расширении какой-либо отрицательной области она смыкается сама с собой, то она становится циклической. При повторном смыкании с самой собой она может приобрести любую степень цикличности, причём каждая степень соответствует точке или линии равновесия, в которых возникла цикличность.
По мере расширения отрицательной области и заполнения ею всего пространства она теряет все степени цикличности, которые она приобрела ранее, и становится в конце концов ациклической. Таким образом, имеется также совокупность точек или линий равновесия, в которых теряется цикличность, причём число степеней равно числу степеней для точек или линий, в которых она увеличивается.
При произвольной форме заряженных тел или проводников мы можем лишь утверждать, что число этих дополнительных точек или линий чётно, но для точечных зарядов и сферических проводников их число не может превышать (𝑛-1)(𝑛-2), где 𝑛 - количество тел.
114. Потенциал вблизи любой точки 𝑃 может быть разложен в ряд 𝑉=𝑉0+𝐻1+𝐻2+…, где 𝐻1+𝐻2+… - однородные функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, соответственно степени 1, 2 и т. д.
Поскольку в точке равновесия первые производные от 𝑉 обращаются в нуль, то 𝐻1=0, если 𝑃 - точка равновесия.
Пусть 𝐻𝑛 - первая отличная от нуля функция, тогда вблизи точки 𝑃 можно пренебречь всеми функциями более высокой степени, чем 𝐻𝑛.
Но 𝐻1=0 является уравнением конуса степени 𝑛 и этот конус является соприкасающимся конусом к эквипотенциальной поверхности в точке 𝑃.
Таким образом, получается, что проходящая через точку 𝑃 эквипотенциальная поверхность имеет в этой точке коническую точку с соприкасающимся конусом степени два или выше. Пересечение этого конуса со сферой с центром в вершине называется Нодальной линией.
Если точка 𝑃 не находится на линии равновесия, то нодальная линия не имеет самопересечений и состоит из 𝑛 или меньшего числа замкнутых кривых.
Если нодальная линия имеет самопересечение, то точка 𝑃 находится на линии равновесия и эквипотенциальная поверхность, проходящая через 𝑃, имеет самопересечение по этой линии.
