Далее, прохождение искры зависит, вообще говоря, от величины результирующей силы, а та - от поверхностной плотности. Таким образом, если мы предполагаем, что проводник не настолько сильно электризован, чтобы разряжаться, теряя электричество с других частей поверхности, то не будет и искрового разряда между малым телом и частью поверхности проводника, так как мы показали, что эта часть имеет меньшую поверхностную плотность.
224. Мы теперь рассмотрим различные формы малого тела.
Предположим, что это - малая полусфера, приложенная к проводнику так, что она соприкасается с проводником в центре своей плоской стороны.
Пусть проводник представляет собой большую сферу. Изменим форму полусферы так, что её поверхность будет несколько больше, чем полусфера, и будет встречать поверхность сферы под прямыми углами. Тогда мы имеем случай, для которого мы уже получили точное решение (см. п. 168).
Если 𝐴 и 𝐵 - центры двух сфер, пересекающих друг друга под прямыми углами, 𝐷𝐷' - диаметр круга, по которому они пересекаются, а 𝐶 - центр этого круга, тогда, если 𝑉 есть потенциал проводника, внешняя поверхность которого совпадает с поверхностью этих двух сфер, количество электричества на внешней поверхности, принадлежащей сфере 𝐴, равно
½𝑉
(𝐴𝐷
+
𝐵𝐷
+
𝐴𝐶
-
𝐶𝐷
-
𝐵𝐶)
,
а количество электричества на внешней поверхности, принадлежащей сфере 𝐵, равно
½𝑉
(𝐴𝐷
+
𝐵𝐷
+
𝐵𝐶
-
𝐶𝐷
-
𝐴𝐶)
,
причём полный заряд равен сумме этих величин, или
𝑉
(𝐴𝐷
+
𝐵𝐷
-
𝐶𝐷)
.
Если радиусы сфер равны α и β, тогда, если радиус α велик в сравнении с β, заряд на сфере 𝐵 относится к заряду на сфере 𝐴 как
3β²
4α²
⎛
⎜
⎝
1+
1
3
⋅
β
α
+
1
6
⋅
β²
α²
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
относится к единице.
Пусть теперь σ обозначает однородную поверхностную плотность на 𝐴 после удаления 𝐵. Тогда заряд на 𝐴 равен 4πα²σ и поэтому заряд на 𝐵 равен
3πβ²σ
⎛
⎜
⎝
1+
1
3
⋅
β
α
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
,
т.е., если радиус β очень мал в сравнении с α, заряд на полусфере 𝐵 в три раза превышает такой заряд, который при поверхностной плотности заряда а содержался бы на площади, равной площади кругового основания полусферы.
Из п. 175 следует, что если малая сфера приводится в соприкосновение с электризованным телом, а затем удаляется от него на некоторое расстояние, средняя плотность заряда на сфере относится к плотности заряда на теле в точке соприкосновения как π² относится к 6 или как 1,641 к 1.
225. Наиболее удобная форма для пробной плоскости - это форма круглого диска. Поэтому мы покажем, как измерять заряд на таком диске, положенном на электризованную поверхность. Для этой цели мы построим такую потенциальную функцию, у которой одна из эквипотенциальных поверхностей напоминала бы круговую выпуклость с плоской вершиной, схожую по своей общей форме с диском, лежащим на плоскости.
Пусть σ - поверхностная плотность на плоскости; эту плоскость мы примем за плоскость 𝑥𝑦.
Потенциал, отвечающий этой электризации, будет 𝑉=-4πσ𝑧.
Пусть теперь два диска радиуса 𝑎 жёстко наэлектризованы с плотностями заряда +σ' и -σ'. Пусть первый из них помещён на плоскость центром в начало координат, а второй - параллельно ему на очень малом расстоянии 𝑐.
Тогда можно показать, как мы в этом убедимся в теории магнетизма, что потенциал этих двух дисков в любой точке равен ωσ'𝑐 где ω есть телесный угол с вершиной в этой точке, опирающейся на края любого из дисков. Таким образом, потенциал всей системы будет 𝑉=-4πσ𝑧+σ'𝑐ω.
Формы эквипотенциальных поверхностей и линий индукции даны на левой стороне рис. XX в конце второго тома.
Обратим внимание на форму поверхности, для которой 𝑉=0. Эта поверхность проведена пунктиром.
Обозначим через 𝑟 расстояние любой точки от оси 𝑧. Тогда для значений 𝑟, много меньших, чем 𝑎, и для малых 𝑧 находим ω=2π-2π(𝑧/𝑎)+ и т. д.
Таким образом, для значений 𝑧, много меньших, чем 𝑎, уравнение нулевой эквипотенциальной поверхности имеет вид
0
=
-4πσ𝑧
+
2πσ'𝑐
-
2πσ'
𝑧0𝑐
𝑎
+ и т.д.,
или
𝑧
0
=
σ'𝑐
.
2σ+σ'
𝑐
𝑎
Следовательно, эта эквипотенциальная поверхность вблизи оси является почти плоской.
Вне диска, где величина 𝑟 много больше, чем 𝑎, телесный угол ω равен нулю при 𝑧=0, так что плоскость 𝑥𝑦 представляет собой часть эквипотенциальной поверхности.
Чтобы выяснить, где встречаются эти две части поверхности, найдём, в какой точке этой плоскости 𝑑𝑉/𝑑𝑧=0.
Если величина 𝑟 очень близка к 𝑎, телесный угол ω становится приблизительно сферическим двуугольником на сфере единичного радиуса. Угол этого двуугольника равен arctg[𝑧/(𝑟-𝑎)] и, следовательно, ω=2 arctg[𝑧/(𝑟-𝑎)]. Поэтому при 𝑧=0 выполняется приблизительное равенство
𝑑𝑉
𝑑𝑧
=-
4πσ
+
2σ-𝑐
𝑟-𝑎
.
Таким образом, при 𝑑𝑉/𝑑𝑧=0
𝑟
0
=
𝑎
+
σ'𝑐
2πσ
=
𝑎
+
𝑧0
π
(приблизительно).
Поэтому эквипотенциальная поверхность 𝑉=0 состоит из напоминающей диск фигуры радиуса 𝑟0 и примерно одинаковой толщины 𝑧0 и из той части бесконечной поверхности 𝑥𝑦, которая лежит за пределами этой фигуры.
Поверхностный интеграл по всему диску даёт находящийся на нём электрический заряд. Можно сказать, как это сделано в теории круговых токов, часть IV, п. 704, что заряд на диске равен
𝑄
=
4π𝑎σ'𝑐
⎧
⎨
⎩
ln
8𝑐
𝑟0-𝑎
-2
⎫
⎬
⎭
+
πσ𝑟
0
²
.
Заряд на такой же площади плоской поверхности равен πσ𝑟0², таким образом, заряд на диске превышает заряд на такой же плоской поверхности в отношении
1
+
8
𝑧0
𝑟0
ln
8π𝑟0
𝑧0
к единице,
𝑧0 - толщина, 𝑟0 - радиус диска, и предполагается, что величина 𝑧0 мала в отношении с 𝑟0.
Об электрических накопителях и об изменении ёмкости
226. Накопителем или Конденсатором называется прибор, состоящий из двух проводящих поверхностей, разделённых изолирующей диэлектрической средой.
Лейденская банка представляет собой накопитель, в котором внутренняя обкладка из оловянной фольги отделена от внешней обкладки стеклом, из которого сделана банка. Первоначальная лейденская склянка (phial) представляла собой стеклянный сосуд, содержавший воду, которая отделялась стеклом от руки, державшей сосуд.
Внешняя поверхность любого изолированного проводника может рассматриваться как одна из поверхностей накопителя, в то время как другую поверхность образует Земля или стены комнаты, в которой помещается проводник, а находящийся между этими поверхностями воздух образует диэлектрическую среду.
