Напротив – вопрос о новых аксиомах и определениях МАТЕМАТИКИ Ньютона совсем не заботил. Зачем строго определять понятия «флюксии» и «флюенты», если и без того ясно, как с ними работать? Если каждую полезную функцию можно изобразить графиком и разложить в степенной ряд, то стоит ли размышлять о том, ПОЧЕМУ это удается? Мир полон увлекательных задач, поставленных Богом или природой; сначала надо их решить, а потом станет ясно, почему они поддаются решению!
Сто лет спустя Гаусс был бы рад рассуждать о науке столь же беспечно и уверенно. Но увы – это не получалось. Удачная попытка построить правильный 17-угольник с помощью комплексных чисел привела к удивительному открытию: НЕВОЗМОЖНО построить правильный 7- или 9-угольник! Значит, в математике есть свои неразрешимые проблемы – вроде вечного двигателя в физике! Доказать их неразрешимость удается, лишь вводя строгие определения удачно выбранных понятий. Таковы в физике сила, энергия и импульс, а в математике – поле и кольцо, группа и векторное пространство.
После осмысления этих вещей выполнимость или невыполнимость многих построений циркулем и линейкой стала простым следствием из делимости размерностей числовых полей; неразрешимость в радикалах уравнений пятой степени следует из отсутствия нормальных подгрупп в группе перестановок длины 5. Напротив – недоказуемость евклидова постулата о параллельных прямых не потребовала новых понятий или определений. Зато понадобились два примера необычно изогнутых поверхностей: сфера и псевдосфера.
Таким путем Гаусс и его наследники (Галуа, Риман, Куммер, Кляйн) открыли с XIX веке своеобразный закон сохранения и превращения научных понятий и законов в новые научные проблемы – или наоборот. Тот и другой процессы требуют высочайшей активности ученых людей. Так, Архимед пытался понять законы движения планет с помощью численных экспериментов и механических моделей. В этом деле великий грек потерпел неудачу: не владея позиционной записью чисел, он тратил слишком много времени на довольно простые расчеты. В XVI веке десятичная запись целых и дробных чисел стала достоянием всех просвещенных европейцев: сразу после этого Кеплер успешно решил астрономическую проблему, над которой бился Архимед.
Тогда же нечаянное техническое чудо – подзорная труба -произвело революцию в наблюдательной астрономии. Галилей открыл спутники Юпитера и заметил вращение Солнца вокруг его оси; Гюйгенс обнаружил кольцо Сатурна и построил точные часы с маятником; и так далее. Очутившись в центре такой революции и активно продолжая ее, Ньютон не имел ни времени, ни охоты задуматься: каковы движущие силы этого стихийного процесса и что делать ученым людям, если он начнет затухать?
Полвека спустя такое затухание стало очевидным фактом и вызвало две разные инстинктивные реакции ученого сообщества. Одни удальцы начали ЭКСПОРТ плодов «механико-математической революции» в сопредельные области естествознания, прежде всего в химию, где азартная охота за новыми элементами переросла в изучение атомов и молекул. Другие энтузиасты увлеклись научным образованием немалого множества просвещенных европейцев. Пусть ВСЕ поймут величие открытий Галилея и Ньютона! Тогда многие захотят им подражать – и, авось, у некоторых счастливцев получится что-нибудь стоящее…
Получилось много всего: от аэростата до гильотины, от паровой машины до государственного культа Разума, от египтологии до электромотора. Все это Гаусс наблюдал своими глазами: многое он испытал на своей шкуре. И решил для себя: в экспорте научной революции он участвует, но в массовом просвещении любителей-полузнаек – нет! Ибо учитель не вправе оставить пробужденных им учеников на произвол судьбы: он должен указать им не только пути, ведущие к открытиям, но и способы избегать дурного воплощения этих открытий. Таких способов Гаусс не нашел. Оттого многие юноши, заразившись от геттингенского мудреца любовью к математике, уезжали доучиваться и работать в Берлин или Париж – туда, где нечаянно сложились тесные ученые содружества.
Их организаторы – Фурье. Якоби, Дирихле – заметно уступали Гауссу и Ньютону калибром своих научных достижений. Но благодаря душевной открытости они стали властителями дум очередного поколения европейских ученых. Благодаря их усилиям обновленное математическое сообщество в XIX веке не отставало от великих успехов физики и химии. Вспомним такие пары научных ровесников, как Фарадей и Риман, Максвелл и Кантор, Кельвин и Вейерштрасе… К концу века на плечах этих гигантов выросли Пуанкаре и Гильберт.
Их обоих обожгла внезапная война 1870 года. Но Гильберт рос в Кенигсберге – столице победившей Пруссии, а Пуанкаре рос в Нанси – на французской земле, захваченной пруссаками. Понятно, что Пуанкаре всю жизнь чурался политики – подобно Ньютону, выросшему в разрухе английской революции, или Гауссу, разоренному войнами Наполеона. Гильберт тоже не увлекся политикой: его увлекла наука. Но для Гильберта математика не стала наркотиком, заслонявшим неприглядную реальность. Он предложил немцам и прочим европейцам иной путь интеллектуальных трудов и побед – не связанных с массовым кровопролитием, но доставляющих не меньшую радость, чем победа на поле боя. Характерно, что наставником Гильберта в педагогической работе стал блестящий немей Кляйн, недавно побежденный и сломленный в честном бою гениальным французом Пуанкаре.
Оба молодых человека одновременно увлеклись прекрасной дамой – теорией функций комплексного переменного. Среди таких функций обнаружились особенно красивые – связанные с геометрией Евклида или Лобачевского общей группой симметрий. Как велико множество этих красавиц? Кто первый найдет все такие функции? Началась изнурительная гонка к желанной цели:
Пуанкаре пришел к финишу первым,
Кляйн отстал и надорвался. Что делать дальше?
Победитель-француз ощутил себя богатырем и отправился на поиски новых богатырских задач в сопредельные сферы: в небесную механику электродинамику и в теорию дифференциальных уравнений. Побежденный немец ощутил предел своих творческих сил и решил стать просветителем – вовлекать в научный поиск новые поколения молодежи. Но Кляйн понимал, что сам он не сумеет довести молодежь до высших вершин науки: это под силу лишь первооткрывателю, который действует скорее живым примером, чем мастерством педагога. Чтобы вырастить дружину гениев, нужно иметь хоть одного гения-самородка. Кляйн следил и ждал. Вскоре он заметил молодого Гильберта и решил: вот мой соратник и наследник!
Подобно Ньютону, Гильберт не был вундеркиндом. Он просто находил огромное удовольствие в размышлениях о науке, постоянно думал о ней и старался решать новые красивые задачи из всех областей математики. Для начала Кляйн решил превратить «вольного охотника» в универсального ученого. По его инициативе Германское математическое общество поручило Гильберту и его друзьям составить доклад о современном состоянии теории чисел – через сто лет после того, как ее преобразил Гаусс. Этот труд вылился в учебник объемом 400 страниц. По ходу дела Гильберт открыл уйму новых фактов, ввел несколько необходимых понятий, доказал ряд давних гипотез, нашел много новых трудных задач для себя и своих коллег. Оценив этот успех, Кляйн принял все меры, чтобы переманить Гильберта из провинциального Кенигсберга в славный Геттинген. Пусть молодой профессор ощутит себя наследником Гаусса – и превзойдет его, сделавшись не только открывателем новых истин, но главою универсальной научной школы!
Этот план удался: в Германии выросла «школа Гильберта», наследниками которой являются все нынешние математики и большинство физиков-теоретиков. Как произошло такое чудо?
Составляя обзор теории чисел, Гильберт понял простую вещь: задачник столь же важен, как учебник? Более того – одно невозможно без другого, потому что труд исследователя состоит в чередовании двух разновидностей работы. То решается новая задача – для этого приходится вводить новые понятия или угадывать необычные сочетания знакомых понятий. То автор пытается соединить ворох новых фактов и объектов в цельное здание – при этом на стыках блоков вспыхивают, как искры, новые задачи.
