Используя известные в то время значения е, т, h, Бор вычислил значение постоянной в спектральной формуле:

тогда как экспериментальное значение равно 3,290 • (10)¹⁵. «Соответствие между теоретическим и наблюдаемым значениями лежит в пределах ошибок измерений постоянных, входящих в теоретическую формулу», — писал Бор.

Бор дал объяснение спектральной серии, наблюдаемой в 1896—1897 гг. Пикерингом в спектре звезды ?-Кормы. Он показал, что эта серия соответствует спектру ионизированного гелия.

После опубликования статей Бора фаулер обнаружил новые линии при разряде в трубке, заполненной водородом и гелием, которые, по его мнению, не укладываются в серию Бора. Бор уточнил теорию, введя движение ядра и электрона около общего центра массы. Тогда:

в точном соответствии с экспериментом.

В последующих работах Бор непрерывно уточнял основы своей теории. Она была дополнена принципом соответствия (1918), позволяющим делать определенные выводы об интенсивности и поляризации спектральных линий. Зоммерфельд развил теорию пространственного квантования, позволившую дать объяснение нормального эффекта Зеемана. Эффект Щтарка, открытый в 1913 г., был объяснен на основе модели Бора Эйнштейном и Шварцшильдом (1916). Сам Бор неоднократно занимался вопросом о влиянии магнитных и электрических полей на спектры атомов. Он же впервые включил в квантовую теорию атома и рассмотрение рентгеновских спектров, считая, что «характеристическое рентгеновское излучение испускается при возвращении системы в нормальное состояние, если каким-либо воздействием, например катодными лучами, были предварительно удалены электроны внутренних колец» (1913).

Волновой характер рентгеновского излучения был установлен Максом Лауэ (1879-1960), Вальтером Фридрихом (1883—1968) и Паулем Книппингом (1883-1935). В 1912 г. Лауэ пришла в голову мысль использовать в качестве дифракционной решетки для рентгеновских лучей кристалл. Он предложил Фридриху и Книппингу произвести эксперимент. Эксперимент с кристаллами цинковой обманки, каменной соли и свинцового блеска блестяще подтвердил предположение Лауэ. Статья Лауэ, Фридриха и Книппинга «Интерференционные явления в рентгеновских лучах» была опубликована в 1912 г. и в дополненном виде в 1913 г.

Рис. 70. Схема опыта Лауэ, Фридриха и Книппинга

Лауэ сразу же после опытов Фридриха и Книппинга дал теорию эксперимента, которая составила первую теоретическую часть статьи 1913 г. Однако она еще не давала возможностей точного измерения длин волн рентгеновских лучей, поскольку не была известна точно структура кристаллов. Основы рентгеноскопии и рентгеноструктурного анализа были даны отцом и сыном Брэггами: Вильямом Генри Брэггом (1862—1942) и его сыном Вильямом Лауренсом Брэггом (1890-1971). Они нашли, что пучок рентгеновских лучей отражается от поверхности кристалла по закону геометрической оптики для углов скольжения Θ, удовлетворяющих условию:

2dsinΘ = nλ.

Аналогичное соотношение было найдено русским физиком Юрием (Георгием) Викторовичем Вульфом (1863—1925). Закон Брэггов и Вульфа дал возможность измерить длины рентгеновских лучей.

Открытые в 1908 г. Чарлзом Гловером Баркла (1877—1944) так называемые характеристические лучи образуют линейчатый спектр, распадающийся на серии, обозначаемые в рентгеноскопии буквами К, L, M, N, ... .

Рис. 71. Установка Лауэ, Фридриха и Книппинга

Генри Мозли в 1913—1914 гг. открыл закон смещения длин волн характеристических лучей, принадлежащих к одной и той же серии, при переходе от элемента к элементу. Частота рентгеновских лучей, определяющая их «жесткость», возрастает с возрастанием порядкового номера элемента. Заметим, что пионеры рентгеноскопии М. Лауэ, В. Г. и В. Л. Брэгги, Ч. Баркла получили Нобелевские премии по физике: Лауэ — в 1914 г., Брэгги —в 1915 г., Баркла — в 1917 г.

Первое теоретическое истолкование рентгеновских спектров на основе идей Бора состоит в том, что они обязаны переходам электронов на вакантные места во внутренних оболочках. Оно было дано Зоммерфельдом в его фундаментальной работе 1916 г. В том же 1916 г. П. Дебай и П. Шеррер разработали новую методику рентгеновского анализа кристаллов в порошке, получившую широкое распространение в рентгеноструктурном анализе.

Идеи Бора получили экспериментальное подтверждение в опытах Джеймса франка (1882—1964) и Густава Герца, которые начиная с 1913 г. изучали соударения электронов с атомами паров и газов. Оказалось, что электрон может сталкиваться с атомами газов упруго и неупруго. При упругом ударе электрон отскакивает от тяжелого атома (например, ртути), не теряя энергии, при неупругом ударе его энергия теряется и передается атому, который при этом либо возбуждается, либо ионизируется. Порции энергии, затрачиваемые на возбуждение атома, вполне определенные: так, электрон при столкновении с атомами ртути теряет энергию 4,9 эВ, что соответствует энергии кванта ультрафиолетового света длиной волны 2537 А. Квантовый характер поглощения энергии атомом был продемонстрирован в опытах франка, Герца и других физиков с поразительной наглядностью. За эти исследования, которые продолжались ряд лет, в 1925 г. франк и Герц были удостоены Нобелевской премии.

Квантовый характер излучения и поглощения энергии атомом лег в основу теоретического исследования о световых квантах, выполненного Эйнштейном в 1916—1917 гг. В этом исследовании Эйнштейн вывел формулу Планка, исходя из представления о направленном излучении. Атом излучает и поглощает энергию квантами. Выстреливая квант в определенном направлении, атом сообщает ему не только энергию hν , но и импульс hν/c. При излучении молекула газа переходит из энергетического состояния Zmc энергией em в состояние Zn с энергией еn излучая энергию еm — еn. Поглощая такую же энергию, молекула переходит из состояния Zn в состояние Zm Молекула может перейти из состояния Zm в состояние Zn самопроизвольно, спонтанно. Вероятность такого перехода за время dt пропорциональна этому промежутку времени dt:

Но, кроме этого спонтанного перехода, впервые введенного Бором при объяснении спектров, по Эйнштейну, для молекул и атомов, находящихся в световом поле, возможны индуцированные переходы под действием светового излучения. Вероятность такого «индуцированного излучения»:

где ρ — объемная плотность световой энергии. Точно так же вероятность поглощения энергии молекулой, находящейся в состоянии Zn и перехода ее на высший энергетический уровень Zm, будет:

В равновесном состоянии атом в среднем столько же поглощает энергии, сколько и излучает. Поэтому:

где по закону статистики Больцмана число молекул, находящихся в состоянии Zn, пропорционально:

Из предыдущего равенства получается:

Положим εm - εn = hν, и для высоких частот, применяя закон Вина, получим формулу Планка:

Идея Эйнштейна об индуцированном излучении нашла в современной физике и технике важное применение в лазерах.

Как было уже сказано, в 1916 т. Зоммерфельд обобщил теорию Бора, введя правила квантования для систем с несколькими степенями свободы. Он рассмотрел движение по эллипсу, введя азимутальные и радиальные квантовые числа. Введя далее пространственное квантование и третье квантовое число, он дал теорию нормального эффекта Зеемана. Наконец, он дал теорию тонкой структуры спектральных линий и объяснение рентгеновских спектров. Все эти результаты были подробно разработаны им в классической монографии «Строение атомов и спектры», первое издание которой вышло в 1917 г. До 1924 г. включительно эта книга выдержала четыре издания. Последнее издание ее уже в двух томах вышло в 1951 г. и русский перевод — в 1956 г.