Если не допускать ослабленные и усиленные формы (т. е. если не предполагать экзистенциальной нагруженности общих высказываний), то сведение позволяет нам усмотреть, что все силлогистические аргументы можно свести к двум формам: одной, в которой обе посылки будут общими суждениями, и второй, в которой обе посылки будут частными суждениями. Первая форма представляет аргумент, в котором оба суждения могут быть всего лишь гипотезами, вторая форма предполагает утверждения относительно факта, которые, в конечном счете, основываются на наблюдении.

§ 11. Антилогизм, или несовместимая триада

Принцип, использующийся в опосредованном сведении, был развит г-жой Кристиной Лэдд-Франклин, что позволило получить новый мощный инструмент проверки правильности любого силлогизма. При рассмотрении данного метода мы отбросим допущение, сделанное нами относительно существования классов, обозначаемых терминами силлогизма. Как следствие, мы исключим ослабленные и усиленные модусы как неправильные.

Рассмотрим правильный силлогизм:

Все музыканты являются гордыми.

Все шотландцы являются музыкантами.

∴ Все шотландцы являются гордыми.

Если мы обозначим буквами «S», «М» и «Р» термины «шотландцы», «музыканты» и «гордые индивиды» соответственно и если мы используем результаты анализа того, что утверждается в категорическом суждении, который мы провели в главе IV, то данный силлогизм можно выразить как утверждающий следующее:

Если посылки «все музыканты являются гордыми» и «все шотландцы являются музыкантами» с необходимостью имплицируют заключение «все шотландцы являются гордыми», то из этого следует, что данные посылки несовместимы с суждением, противоречащим заключению. Поэтому три суждения:

1. Все музыканты являются гордыми.

2. Все шотландцы являются музыкантами.

3. Некоторые шотландцы не являются гордыми.

являются несовместимыми друг с другом. Они не могут вместе быть истинными. В символьном выражении

являются несовместимыми. Триада суждений, два из которых являются посылками правильного силлогизма, а третье – суждением, противоречащим заключению данного силлогизма, называется антилогизмом, или несовместимой триадой.

Анализ приведенного выше антилогизма при этом показывает, что любые два суждения из триады с необходимостью имплицируют суждение, противоречащее третьему суждению. (Можно показать, что данный вывод является в общем истинным, а также что он является развитием эквивалентности между условным суждением и контрапозитивным ему суждением.) Таким образом, если мы возьмем первые два суждения триады в качестве посылок, то получим силлогизм:

Все музыканты являются гордыми.

Все шотландцы являются музыкантами.

∴ Все шотландцы являются гордыми.

Это исходный силлогизм, из которого была получена триада. Если мы возьмем первое и третье суждения триады в качестве посылок, то получим силлогизм:

Все музыканты являются гордыми.

Некоторые шотландцы не являются гордыми.

∴ Некоторые шотландцы не являются музыкантами.

Это правильный модус второй фигуры. Наконец, если мы возьмем второе и третье суждения триады в качестве посылок, то получим силлогизм:

Все шотландцы являются музыкантами.

Некоторые шотландцы не являются гордыми.

∴ Некоторые музыканты не являются гордыми.

Это правильный модус третьей фигуры.

Предлагаем читателю взять какой-нибудь другой правильный модус силлогизма и получить из него несовместимую триаду, а также два других правильных силлогизма, эквивалентных исходному.

Рассмотрим теперь структуру антилогизма. Прежде всего, читатель может обратить внимание на то, что антилогизм содержит два общих суждения и одно частное. Это то же самое, что утверждать, что в символьном выражении членов триады присутствует два равенства и одно неравенство, поскольку общее суждение интерпретируется как отрицающее существование, тогда как частное его утверждает. Если читатель подробно рассмотрит символьное выражение, то он также сможет увидеть, что два общих суждения обладают общим термином, которые в одном случае утверждаются, а в другом отрицаются. Наконец, частное суждение содержит два другие термина. Можно без труда показать, что эти три условия присутствуют в каждом антилогизме и что доказательство этого не должно вызывать у читателя сомнений.

Поскольку всякому правильному силлогизму соответствует определенный антилогизм, мы можем использовать указанные условия в качестве теста правильности любого силлогизма. Для этого требуется лишь один принцип, который может быть сформулирован следующим образом: силлогизм является правильным, если ему соответствует антилогизм, структура которого согласуется с тремя вышеуказанными условиями.

Теория антилогизма представляет собой попытку отыскать более общее основание для силлогизма и других умозаключений, изучаемых в традиционной логике. Читатель может отметить изящность и эффективность, которую дает введение специально созданных символов. В следующей главе мы укажем на тесную связь между развитием логической теории и усовершенствованием символьной записи. Что касается данной главы, то ее мы закончим рассмотрением того, как антилогизм может быть использован для проверки силлогизмов на правильность.

Является ли правильным следующий силлогизм?

Некоторые азиаты вежливы.

∴ Все азиаты проницательны.

Некоторые проницательные люди вежливы.

Пусть «S», «P» и «О» обозначают меньший, больший и средний термин соответственно. В символах данное умозаключение может быть выражено следующим образом: OP ≠ 0, 

= 0, ∴ SP ≠ 0. Эквивалентным антилогизмом будет: OP ≠ 0, = 0, ∴ SP = 0. Антилогизм содержит два общих суждения и одно частное. Общие суждения обладают общим термином, который в одном случае утверждается, а в другом отрицается. Частное суждение содержит два оставшихся термина. Следовательно, исходный силлогизм является правильным.

Является ли правильным следующий силлогизм?

Некоторые профессора неженаты.

Все святые женаты.

∴ Некоторые святые не являются профессорами.

Пусть «S», «P» и «М» обозначают меньший, больший и средний термин. Символьное выражение данного силлогизма: 

≠ 0, = 0, ∴ SP ≠ 0. Эквивалентным антилогизмом будет: ≠ 0, = 0, следовательно, SP = 0. Антилогизм содержит два общих суждения и одно частное, однако общий термин в общих суждениях не является утверждаемым в одном случае и отрицаемым в другом. Следовательно, силлогизм является неправильным.

§ 12. Сорит

Иногда основания для заключения состоят более чем из двух суждений. В таких случаях умозаключение не является силлогизмом. Исследование же всех возможных способов, по которым более чем два суждения могут сочетаться с тем, чтобы приводить к заключению, требует более общего подхода к логике, чем то позволяют традиционный подход или элементарное введение в дисциплину. Однако в ряде особых случаев принципы силлогизма позволяют нам оценивать более сложные умозаключения. Так, из посылок: