В качестве проверки усвоения этой записи предложим читателю привести противоречащее суждение для суждения «некоторые люди – бедные, но честные». Следует понимать, что сила слова «но» в данном суждении заключается в том, что бедные чаще всего являются бесчестными, хотя случается и так, что некоторые из них являются честными. Следовательно, явным значением здесь будет «некоторые люди – бедные и честные, и некоторые люди – бедные и бесчестные». Из этого следует, что суждение «некоторые люди не бедные и честные» не противоречит исходному утверждению, равно как не противоречит ему и суждение «все люди не являются одновременно бедными и честными или все люди не являются одновременно бедными и бесчестными». Сходным образом суждение «Джон не вернулся вчера домой на велосипеде» не будет противоречить суждению «Джон вчера вернулся домой на велосипеде». Этому суждению скорее будет противоречить суждение «Джон не вернулся домой, или Джон не вернулся домой вчера, или Джон не вернулся домой на велосипеде».

Данное отношение было проиллюстрировано в традиционном квадрате противопоставлений. Однако можно найти примеры подобного противопоставления и помимо тех, что были указаны в логическом квадрате. Рассмотрим следующие суждения: «мой рост – семь футов» и «мой рост – шесть футов»; «Сократ был мудрейшим из греков» и «Платон был мудрейшим из греков»; «Колумб был первым европейцем, открывшим Америку» и «Лиф Эриксон был первым европейцем, открывшим Америку». Все они представляют пару противоположных суждений, выходящих за рамки рассмотрения традиционного подхода. Очевидно, что общие суждения могут иметь больше чем одно противоположное суждение.

Какое суждение будет противоположным суждению «книга была украдена, или я ее переложил»? Одним из противоположных суждений будет «книга не была украдена, и я ее не переложил, и мой брат ее не одалживал». Эти два сложных суждения могут быть вместе ложными, например, в том случае, если суждение «мой брат одолжил ее» истинно. Вообще нижеприведенная символическая запись представляет пару противоположных сложных суждений:

(р ∨ q)

и

(р′ . q′ . r),

где р, q и r могут быть любыми суждениями.

Из приведенных примеров должно быть понятно, что два суждения могут быть несовместимыми друг с другом, даже если ни одно из них не является истинным. Это простое обстоятельство зачастую упускалось, что приводило к величайшим разногласиям в истории человеческой мысли. Жаркие споры между идеалистами и реалистами, между революционерами и консерваторами, между эволюционистами и фундаменталистами, теистами и деистами велись не только на основании предположения о том, что соответствующие взгляды исключают друг друга, но и на основании предположения о том, что опровержение одного из них будет означать подтверждение истинности другого. Ирония, присущая истории, заключается, однако, в том, что эти знаменитые противопоставления сегодня не рассматриваются с точки зрения, согласно которой если один подход ложен, то другой истинен.

Помимо суждений, рассмотренных в традиционном подходе, есть и другие, также представляющие субконтрарное противопоставление. Примерами таких суждений являются следующие: «эта книга содержит страницу с опечаткой» и «эта книга содержит страницу без опечатки»; «водород не является самым легким элементом» и «гелий не является самым легким элементом»; «Сан-Марино не является самым маленьким государством Европы» и «Андорра не является самым маленьким государством Европы». Суждения в каждой из приведенных пар не могут вместе быть ложными, но могут вместе быть истинными.

Другими примерами этого важного отношения являются следующие: при существующей организации управления суждения «некоторые европейские страны суть монархии» и «некоторые европейские страны суть республики» являются субконтрарными. В стране, где планируется повышение налогов, но где бюджет должен быть сбалансирован либо повышением таможенных пошлин, либо повышением подоходного налога, суждения «подоходный налог будет повышен» и «таможенные пошлины будут повышены» также будут субконтрарными. Таким образом, отношение субконтрарности является очень простым, и может показаться странным, что из-за неспособности понять его природу или распознать его на конкретных примерах могут совершаться серьезные ошибки. Однако история человеческой мысли демонстрирует сильную тенденцию рассматривать противоборствующие гипотезы как контрарные или контрадикторные, тогда как на самом деле они являются лишь субконтрарными. Следует ли нам подчиняться закону или же мы свободны изменить его? Должны ли мы следовать примеру старших или можем попытаться улучшить сделанное ими? Целые библиотеки книг были написаны по этим и сходным темам, где данные альтернативы рассматривались как исключающие друг друга. Однако таковыми они могут представляться лишь необученному интеллекту. Мудрость заключается в том, чтобы увидеть, каким способом обе альтернативы могут быть истинными. Для примера рассмотрим разногласия относительно свободной торговли и политики протекционизма. Данные позиции иногда позиционируются так, что принятие одной из них в одно время, а другой – в другое несовместимо с государственными интересами. Однако при одних условиях для экономического развития страны может быть необходимым повышение пошлин, тогда как при других условиях их повышение может оказаться пагубным. Следовательно, в то время как суждения «пошлины пагубны для страны» и «пошлины полезны для страны» являются контрарными, если рассматривать их как формулировку общих принципов экономической политики, реальное положение дел не позволяет принять такие общие принципы. Следовательно, оба суждения могут быть истинными, если их рассматривать как утверждающие, что при определенных квалификационных условиях пошлины являются пагубными, а при иных квалификационных условиях – полезными. Мясо может быть и пищей, и ядом.

Любая теория соотносится со своими логическими следствиями как подчиняющая к подчиненному, согласно отношению суперимпликации. По этой причине позднее мы будем изучать это отношение вместе с обратным отношением более детально. Сейчас же можно указать на одну иллюстрацию данного типа суждений, которая будет несколько сложнее, чем то позволяет традиционный подход. Пусть р обозначает конъюнкцию постулатов и аксиом Евклида, a q обозначает суждение «сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов». В этом случае р является подчиняющей относительно q.

В этой связи полезно сослаться на проводимое в традиционной логике различие между непосредственными умозаключениями (умозаключениями в несобственном смысле) и опосредованными умозаключениями (умозаключениями в собственном смысле). Умозаключение называется «непосредственным», когда вывод делается из одной посылки; умозаключение называется «опосредованным», когда вывод делается, по крайней мере, из двух посылок. Однако данное различие не является значимым, если любые два суждения можно соединить в единое суждение. Кроме этого, следует помнить, что для обоснованности некоторых форм так называемых непосредственных умозаключений требуются особые допущения.

В логике в одних случаях проводилось очень четкое различие между эквивалентными суждениями, а в других случаях, наоборот, ставился вопрос о том, являлись ли вообще «подлинными» умозаключениями непосредственные умозаключения от одного суждения к эквивалентному суждению. Однако размышление над данным вопросом показывает, что данное разногласие, по крайней мере отчасти, происходит вследствие того, что логики забывают, насколько произвольным является различие между суждением и тем, что оно имплицирует. Два суждения, связанные подобным отношением, таким, что если первое истинно, то второе также истинно, и если первое ложно, то второе тоже ложно, считаются тождественными исключительно для целей логики. Поэтому не имеет большого значения то, как мы назовем противопоставление предикату: непосредственным умозаключением от исходного суждения или же будем рассматривать его как суждение, эквивалентное исходному. Тем не менее, несмотря на то что два эквивалентных суждения являются тождественными относительно истинностного значения, конвенциональное значение заключения зачастую является переработкой значения посылки. Также справедливо и то, что разграничительная линия между эквивалентными суждениями, которые не обладают в точности одним и тем же значением, не является четкой.