На данный момент мы рассмотрели три типа отношений между суждениями: противоречие, независимость и отношение подчиняющего суждения к подчиненному. Существуют ли другие отношения помимо указанных? Исчерпывающий список всех таких отношений можно получить, если рассмотреть все возможные истинностные значения, которые будет принимать пара суждений. («Истинностным значением суждения» называется его истинность или ложность.) Пусть р символизирует одно любое суждение, a q – любое другое. Приведенная ниже таблица представляет все их возможные истинностные значения. Следует также учесть возможность того, что истинностное значение одного суждения не будет ограничиваться истинностным значением другого. Отсутствие такого ограничения мы обозначим термином «неопределенно».

Отношение между двумя суждениями может быть представлено одним из указанных шести способов. Однако придания паре суждений лишь одного из шести предложенных условий недостаточно, чтобы однозначно определить их логическое отношение друг к другу. Поэтому для задания свойств отношения противоречия (или контрадикторности), существующего, например, между суждениями ей/, требуется привести два условия: 2 и 4. Отношение суперимпликации также требует двух условий: 1 и 6. Рассмотрение других возможных логических отношений между суждениями показывает, что для задания их свойств также требуется два из шести приведенных в таблице условий. Сопоставив три первых условия с тремя последними, мы получим девять возможных отношений между суждениями. При этом некоторые из них будут совпадать.

1. Если р истинно, то q истинно.

Если р ложно, то q истинно.

В этом случае истинностное значение q не ограничено истинностным значением р. Суждения, связанные таким образом, называются независимыми.

2. Если р истинно, то q истинно.

Если р ложно, то q ложно.

Суждения, связанные таким образом, называются эквивалентными.

3. Если р истинно, то q истинно.

Если р ложно, то q неопределенно.

Суждения, связанные таким образом, находятся в отношении главного (или подчиняющего) и подчиненного. Как было сказано выше, для обозначения этого отношения мы также будем использовать термин «суперимпликация».

4. Если р истинно, q ложно.

Если р ложно, q истинно.

Читатель, видимо, уже узнает данное отношение, именуемое противоречием.

5. Если р истинно, q – ложно.

Если р ложно, q – ложно.

В данном случае ложность q не зависит от истинности или ложности р, поэтому суждения являются независимыми.

6. Если р истинно, q – ложно.

Если р ложно, q – неопределенно.

В данном случае р и q считаются противоположными (контрарными): они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными.

7. Если р истинно, q – неопределенно.

Если р ложно, q – истинно.

Здесь оба суждения не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными. Такие суждения называются субконтрарными (частично совпадающими).

8. Если р истинно, q – неопределенно.

Если р ложно, q – ложно.

В этом случае отношение р к q является обращением отношения из пункта 3. Суждение р здесь находится в отношении субъимпликации или является подчиненным подчиняющему суждению q.

9. Если р истинно, q – неопределенно.

Если р ложно, q – неопределенно.

Здесь суждения р и q также являются независимыми, поскольку истинностное значение р не детерминирует истинностное значение q.

Таким образом, существует семь различных типов логических связей между одним суждением или набором суждений и другим суждением или их набором. (Следует обратить внимание, что 1, 5 и 9 относятся к одному и тому же типу.) Суждения могут 1) быть эквивалентными, 2) находиться в отношении подчиняющего к подчиненному, 3) находиться в отношении подчиненного к подчиняющему, 4) быть независимыми, 5) субконтрарными, 6) противоположными или 7) противоречащими. Данные семь связей являются основополагающими логическими связями между суждениями, и любое рассуждение, в которое мы будем вдаваться в настоящей книге, может рассматриваться как иллюстрация одного из этих отношений. Полное понимание этих семи отношений позволит читателю получить обзорное представление о сфере распространения логики[24].

Мы согласились называть два суждения независимыми, если истинностное значение одного из них никак не детерминирует или ограничивает истинностное значение другого. Таким образом, если бы мы исследовали вопрос о том, является ли истинным суждение «У Перикла было два сына», то нам не помогла бы истинность или ложность суждения «Герц открыл электрические волны». Когда одно суждение не является абсолютно никаким основанием для истинности или ложности другого, то такое суждение мы называем «нерелевантным» относительно последнего. Одной из обязанностей суда, равно как и любой другой рациональной процедуры, является отбрасывание всех нерелевантных показаний. Это, однако, не исключает того, что на определенном этапе мы можем узнать, что суждения, которые мы ранее считали независимыми, являются связанными опосредованным образом. До середины XVIII века никто не подозревал наличия связи между суждениями о громе и молнии, между суждениями о цвете перламутровой раковины и притягательной силе магнетита. Однако сегодня все эти суждения являются частью теории электромагнетизма. При этом формальная логика не дает гарантий относительно исчерпывающего знания тех или иных фактов. Логическая проверка на независимость заключается только в установлении того, может ли данное суждение быть а) истинным, Ь) ложным или с) сохранять неопределенное истинностное значение, независимо от того, является ли некоторое другое суждение истинным или ложным. Так, а) если суждение «угол отражения светового луча равен углу его падения» истинно, то оно будет независимым от истинности или ложности гипотезы «свет состоит из корпускул». Сходным образом, Ь) любое суждение, ложность которого может быть продемонстрирована, например, такое как «сумма двух углов треугольника меньше третьего угла», будет независимым от любого другого суждения, считающегося истинным или ложным, например, от суждения «через точку, лежащую вне прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной», с) Третий случай, когда суждение может быть независимым от другого суждения, показан на примере следующих суждений: «в XVIII веке величайший вклад в физику был сделан Англией» и «сэр Филип Сидни был автором «Писем Юниуса»».

Во всех приведенных парах суждений истинностное значение первого суждения не ограничивается и не детерминируется тем, является ли второе суждение истинным или ложным[25].

Осознание того, что одно и то же может быть сказано различными способами, оказалось весьма ценным для отыскания истины. Пустые споры столь часты не только потому, что каждый предпочитает собственную формулировку отстаиваемых верований, но еще и потому, что из-за подобного предпочтения мало кто готов проанализировать чужие высказывания, якобы выражающие противоположную точку зрения, с тем чтобы понять, являются ли видимые отличия в этих высказываниях существенными или только вербальными. Как бы то ни было, в изучении того, какие суждения являются эквивалентными, заключена существенная часть рационального исследования.