В более общей ситуации результаты наблюдений y₁, ..., y_n рассматриваются как независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями и математическими ожиданиями

Ey_i, = b₁x_1i + ... + b_kx_ki, i = 1, ..., n,

где значения x_ji, j = 1, ..., k предполагаются известными. Эта форма линейной модели регрессии является общей в том смысле, что к ней сводятся модели более высоких порядков по переменным x₁, ..., x_k. Кроме того, некоторые нелинейные относительно параметров b_i; модели подходящим преобразованием также сводятся к указанной линейной форме.

  Р. а. является одним из наиболее распространённых методов обработки результатов наблюдений при изучении зависимостей в физике, биологии, экономике, технике и др. областях. На модели Р. а. основаны такие разделы математической статистики, как дисперсионный анализи планирование эксперимента; модели Р. а. широко используются в статистическом анализе многомерном.

  Лит.: Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Айвазян С. А., Статистическое исследование зависимостей, М., 1968; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968. См. также лит. при ст. Регрессия.

  А. В. Прохоров.

Регрессия (математич.)

Регре'ссия в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у = f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = x_i наблюдается n_i, значений y_i1, ...,

 величины у, то зависимость средних арифметических  от x_i и является Р. в статистическом понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.

  Изучение Р. в теории вероятностей основано на том, что случайные величины Х и Y, имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении Х = х величина Y является случайной величиной с определённым (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р. величины Y по величине Х определяется условным математическим ожиданием Y, вычисленным при условии, что Х = х:

Е(Y êх) = u(х).

  Уравнение у = u(х), в котором х играет роль «независимой» переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график — линией регрессии величины Y по X. Точность, с которой уравнение Р. Y по Х отражает изменение Y в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины Y, вычисленной для каждого значения Х = х:

D(Y êх) = s²(x).

  Если s²(х) = 0 при всех значениях х, то можно с достоверностью утверждать, что Y и Х связаны строгой функциональной зависимостью Y = u(X). Если s²(х) = 0 при всех значениях х и u(х) не зависит от х, то говорят, что Р. Y по Х отсутствует. Аналогичным образом определяется Р. Х по Y и в частности, уравнение Р. х = u(у), = Е(ХïY = у). Функции у = u(х) и х = u(у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.

  Линии Р. обладают следующим замечательным свойством: среди всех действительных функций f (х) минимум математического ожидания Е[Y — f(X)]² достигается для функции f(x) = u(х), т. е. Р. Y по Х даёт наилучшее, в указанном смысле, представление величины Y по величине X. Это свойство используется для прогноза Y по X: если значение Y непосредственно не наблюдается и эксперимент позволяет регистрировать лишь компоненту Х вектора (X, Y), то в качестве прогнозируемого значения Y используют величину u (X).

  Наиболее простым является случай, когда Р. Y по Х линейна:

Е(Yïx) = b + b₁x.

  Коэффициенты b и b₁, называются коэффициентами регрессии, определяются равенствами

,

где m_Х и m_Y — математические ожидания Х и Y,

и  — дисперсии Х и Y, а r — коэффициент корреляции между Х и Y. Уравнение Р. при этом выражается формулой

  В случае, когда совместное распределение Х и Y нормально, обе линии Р. у = u(х) и х = u(у) являются прямыми.

  Если Р. Y по Х отлична от линейной, то последнее уравнение есть линейная аппроксимация истинного уравнения Р.: математическое ожидание Е[Y — b— b₁X]² достигает минимума b и b₁ при b = b и b₁ = b₁. Особенно часто встречается случай уравнения Р., выражающегося линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

у = u(Х) = bj(x) + b₁j₁(x) + ... + b_mj_m(x).

  Наиболее важное значение имеет параболическая (полиномиальная) Р., при которой j(x) = 1 , j₁(x) = x, ..., j_m(x) = x^m.

  Понятие Р. применимо не только к случайным величинам, но и к случайным векторам. В частности, если Y — случайная величина, а Х = (X₁, ..., X_k) — случайный вектор, имеющие совместное распределение вероятностей, то Р. Y по X определяется уравнением

y = u ( x₁, ..., x_k),

где u( x₁, ..., x_k) = E{YïX = x₁, ... , X_k = x_k}.

  Если

u ( x₁, ..., x_k) = b + b₁x₁ + ... + b_kx_k,