Лит. см. при ст. Теплообменник.

Рекупера'ция (от лат. recuperatio — обратное получение, возвращение), возвращение части материала или энергии, расходуемых при проведении того или иного технологического процесса, для повторного использования в том же процессе. Так, ценные растворители в химической технологии извлекаются из отработанных смесей с газами, инертными к данным растворителям (например, с воздухом), путём прямой конденсации или иными способами. Р. тепла применяется в различных теплотехнических установках (рекуператорах), когда конечный продукт обладает высокой температурой и перед выпуском из установки нуждается в охлаждении. Например, при разделении смесей перегонкой охлаждение выделяемого компонента производится самой перегоняемой смесью, которая при этом нагревается перед поступлением в перегонный аппарат.

Рекурре'нтная фо'рмула (от лат. recurrens, родительный падеж recurrentis — возвращающийся), формула приведения, формула, сводящая вычисление n-го члена какой-либо последовательности (чаще всего числовой) к вычислению нескольких предыдущих её членов. Обычно эти члены находятся в рассматриваемой последовательности «недалеко» от её n-го члена, число их от n не зависит, а n-й член выражается через них достаточно просто. Однако возможны Р. ф. и более сложной структуры. Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций.

  Примеры. 1) Последовательность j_n — т. н. чисел Фибоначчи — задаётся формулами:

j = 0, j₁ = 1, j_n+2 = j_n+1 + j_n (n > 0)

  Последняя из них является Р. ф.; она позволяет вычислить j₂, j₃ и дальнейшие члены этой последовательности.

  2) Пусть

  Нетрудно показать, что для n ³ 2 выполняется соотношение

  Это — Р. ф., сводящая вычисление I_n к вычислению / или l₁ в зависимости от чётности n.

  Р. ф. обычно даёт удобную вычислительную схему для нахождения членов последовательности друг за другом. Однако иногда, исходя из Р. ф., стремятся получить «явное» выражение для n-го члена последовательности, описываемой этой Р. ф. Так, в случае чисел Фибоначчи

Рекурре'нтные после'довательности, то же, что возвратные последовательности, т. е. последовательности, члены которых связаны рекуррентной формулой.

Рекурре'нция, 1) повторное появление одних и тех же форм, а также целых фаунистических или флористических комплексов в разных стратиграфических горизонтах. Явление Р. связано с миграцией фаун и флор, вытесненных из места первоначального обитания и существовавших некоторое время за его пределами, а затем, с восстановлением соответствующих условий, возвратившихся на старое место без существенных изменений. 2) Повторение состава продуктов вулканического извержения, форм магматической деятельности, соответствующих более ранним стадиям её эволюции.

Рекурси'вные фу'нкции (от позднелатинского recursio — возвращение), название, закрепившееся за одним из наиболее распространённых вариантов уточнения общего понятия арифметического алгоритма, т.е. такого алгоритма, допустимые исходные данные которого представляют собой системы натуральных чисел, а возможные результаты применения являются натуральными числами. Р. ф. были введены в 30-х гг. 20 в. С. К. Клини, в свою очередь основывавшимся на исследованиях К. Гёделя, Ж. Эрбрана и др. математиков.

  Каждая Р. ф. задаётся конечной системой равенств точно охарактеризованного типа в том смысле, что её значения вычисляются с помощью этой системы равенств по точно формулируемым правилам, причём таким образом, что в итоге для вычисления значений заданной Р. ф. получается алгоритм определённого типа.

  Арифметические функции, для вычисления значений которых имеются какие-либо алгоритмы, принято называть вычислимыми. Вычислимые функции играют в математике важную роль. Вместе с тем, если понятию алгоритма здесь не будет придан точный смысл, то и само понятие вычислимой функции окажется несколько расплывчатым. Р. ф. уже в силу самого характера своего определения оказываются вычислимыми. В известном смысле верно и обратное: имеются серьёзные основания считать, что математическое по своему характеру понятие рекурсивности является точным эквивалентом несколько расплывчатого понятия вычислимости. Предложение считать понятие вычислимости совпадающим по объёму с понятием рекурсивности известно в теории Р. ф. под названием тезиса Чёрча по имени американского математика А. Чёрча, впервые (в 30-х гг. 20 в.) сформулировавшего и обосновавшего это предложение. Принятие тезиса Чёрча позволяет придать понятию вычислимой арифметической функции точный математический смысл и подвергнуть это понятие изучению при помощи точных методов.

  Р. ф. являются частичными функциями, т. е. функциями, не обязательно всюду определёнными. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, часто в качестве синонима используют термин «частично рекурсивные функции». Р. ф., определённые при любых значениях аргументов, называют общерекурсивными функциями.

  Определению Р. ф. может быть придана следующая форма. Фиксируется небольшое число чрезвычайно простых исходных функций, вычислимых в упомянутом выше интуитивном смысле (функция, тождественно равная нулю, функция прибавления единицы и функции, выделяющие из системы натуральных чисел член с данным номером); фиксируется небольшое число операций над функциями, переводящих вычислимые функции снова в вычислимые (операторы подстановки, примитивной рекурсии и минимизации). Тогда Р. ф. определяются как такие функции, которые можно получить из исходных в результате конечного числа применений упомянутых выше операций.

  Оператор подстановки сопоставляет функции f от n переменных и функциям g₁, . . ., g_n от m переменных функцию h от m переменных такую, что для любых натуральных чисел x₁, .., x_m

h(x₁, .., x_m) @ f (g₁(x₁, .., x_m), ..., g_m(x₁, .., x_m))

(здесь и ниже условное равенство @ означает, что оба выражения, связываемые им, осмыслены одновременно и в случае осмысленности имеют одно и то же значение).

  Оператор примитивной рекурсии сопоставляет функциям f от n переменных и g от n + 2 переменных функцию h от n + 1 переменных такую, что для любых натуральных чисел x₁, .. .., x_n, y

h(x₁, .., x_n ,0) @ f(x₁, .., x_n),

h(x₁, .., x_n, y + 1) @ g(x₁, .., x_n, y, h(x₁, .., x_n, y )).