Лит.: Колмогоров А. Н., О принципе tertium non datur, «Математический сборник», 1925, т. 32, в. 4, с. 646—67; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 94, 490—91; Johansson J., Der Minimalkalkül, ein reduzierter Formalismus, «Compositio mathematica», 1937, v, 4, fasc. 1; Wajsberg M., Untersuchungen über den Aussagenkalkül von A. Heyting, «Wiadomosci Mathematyczne», 1939, t. 46.

  Ю. А. Гастев.

Минимальные поверхности, поверхности, у которых средняя кривизна во всех точках равна нулю (см. Кривизна ). М. п. появляются при решении следующей вариационной задачи: в пространстве дана некоторая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для которой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую площадь (минимальную площадь — отсюда название). Если заданная кривая — плоская, то решением, очевидно, будет ограниченный этой кривой кусок плоскости. В случае неплоской кривой необходимое условие, которому должна удовлетворять поверхность с минимальной площадью, было установлено Ж. Лагранжем в 1760 и несколько позже истолковано геометрически Ж. Мёнье в форме, эквивалентной требованию, чтобы средняя кривизна обращалась в нуль. Хотя это условие не является достаточным, т. е. не гарантирует минимума площади, однако впоследствии название «М. п.» было сохранено за всякой поверхностью с нулевой средней кривизной. Если предположить поверхность заданной уравнением z = f (х , у ), то, приравнивая нулю выражение для средней кривизны, приходят к дифференциальному уравнению с частными производными 2-го порядка:

(1 + q² )r - 2pqs + (1 + p² )t = 0,

где

Исследованием этого уравнения в различных формах занимались многие математики, начиная с Ж. Лагранжа и Г. Монжа . Примерами М. п. могут служить: обыкновенная винтовая поверхность ; катеноид — единственная (вещественная) М. п. среди поверхностей вращения; «поверхность Шерка», определяемая уравнением

  М. п. имеет во всех точках неположительную полную кривизну. Бельгийский физик Ж. Плато предложил способ экспериментального осуществления М. п. при помощи мыльных плёнок, натянутых на проволочный каркас.

  Лит.: Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М. — Л., 1947; Курант Р., Роббинс Г., Что такое математика, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957.

Миниме'тр (от лат. minimus — наименьший и ...метр ), прибор для измерения линейных размеров (перемещений), в котором преобразовательным элементом (механизмом) является неравноплечий рычаг с элементами, установленными на ножевых опорах. В отечественной промышленности М. заменены микрокаторами и другими более совершенными средствами измерений с отсчётными головками.

Мини'м-Марта'п (Minim Martap), наиболее крупное месторождение бокситов в Камеруне, к Ю.-З. от г. Нгаундере. Предварительные запасы оцениваются в 1 млрд. т со средним содержанием глинозёма свыше 35 %. С 1970 изучение месторождения ведёт смешанная компания, в которой 40 % акций принадлежит правительству Камеруна, остальные — бокситовым синдикатам Франции («Пешине» и «Южин»), ФРГ и США. Начало промышленной эксплуатации связано с завершением строительства Транскамерунской железной дороги.

Ми'нимум (лат. minimum) в математике, наименьшее значение функции по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках. См. Экстремум .

Ми'нимум за'работной пла'ты, уровень заработной платы работника простого (неквалифицированного) труда. При капитализме М. з. п. устанавливается с учётом прожиточного минимума , который непосредственно связан со стоимостью товара рабочая сила. Капиталисты стремятся установить М. з. п. ниже стоимости рабочей силы и свести условия воспроизводства к низшей физиологической границе. Однако этому препятствует борьба рабочего класса, его растущая сознательность и организованность, а также влияние мировой социалистической системы, где уровень жизни повышается высокими темпами. В развитых капиталистических странах в результате острой классовой борьбы М. з. п. устанавливается законодательным путём, а также на основе соглашений между предпринимателями и профсоюзами в форме почасовых тарифных ставок для рабочих. При этом рабочий, занятый полную рабочую неделю и ещё сверхурочное время, обеспечивает себе заработную плату выше прожиточного минимума. Однако большая армия рабочих, занятых неполный рабочий день или неполную рабочую неделю, фактически не получает даже М. з. п.

  В условиях социализма минимальные размеры оплаты труда устанавливаются государством. Критерием М. з. п. трудящихся и минимальных доходов населения служит бюджет минимума материальной обеспеченности, выражающий в натуральной и денежной форме минимальные при данном уровне развития производства и достигнутом уровне жизни потребности трудящихся и их семей и обеспечивающий в сочетании с общественными фондами потребления нормальное развитие личности. С развитием производительных сил социалистического общества, увеличением объёма общественного производства, изменением его структуры, ростом потребностей трудящихся (см. Возвышения потребностей закон ) количество жизненных средств, обеспечивающих нормальное воспроизводство рабочей силы, увеличивается, возрастает и М. з. п.

  В СССР минимальные ставки и оклады в законодательном порядке периодически повышаются. Верховный Совет СССР законодательно определяет уровень и сроки введения повыш. М. з. п., обязательные для всех руководителей предприятий, министерств и ведомств. В соответствии с постановлением правительства СССР (сентябре 1967) минимальный размер месячной заработной платы рабочим и служащим, занятым в народном хозяйстве, с января 1968 был установлен в 60 руб. В соответствии с Директивами 24-го съезда КПСС минимальная зарплата повышается до 70 руб. в месяц. Она устанавливается единой для всех категорий работников простого труда, т. е. независимо от отрасли народного хозяйства и местонахождения предприятия, в котором работают рабочие и служащие (см. Заработная плата ). Минимальные же тарифные ставки и должностные оклады устанавливаются дифференцированно по отраслям, условиям труда и т. д. У большинства работников простого (неквалифицированного) труда фактически получаемая заработная плата выше установленного М. з. п. Это обусловлено тем, что рабочие и служащие, кроме тарифных ставок и окладов, получают премии, а рабочие-сдельщики — приработок за перевыполнение норм, доплату за условия труда, месторасположение предприятий. Заработная плата минимального размера в СССР освобождена от налогов.

  В законодательном порядке М. з. п. установлен и в других социалистических странах. В Болгарии он составляет (в месяц) 80 левов (введён с 1973), в Венгрии — 1000 форинтов (1971), в ГДР — 350 марок (1971), в Польше — 1000 злотых (1970), в Румынии — 1000 лей (1972).

  Лит.: Материалы XXIV съезда КПСС, М., 1971; Саркисян Г. С., Кузнецова Н. П., Потребности и доход семьи, М., 1967; Володин В. С., Заработная плата в условиях современного капитализма, М., 1967; Кунельский Л. Э., Социально-экономические проблемы заработной платы, М., 1972.