, (1)

где n_x, n_yи n_z — значения n вдоль главных направлений (главные значения тензора диэлектрической проницаемости и n). Оптической осью кристалла называют прямую, проходящую через данную точку О кристалла перпендикулярно к плоскости кругового сечения оптической индикатрисы.

  В случае оптически изотропных кубических кристаллов e не зависит от направления, и оптического индикатриса превращается в сферу с радиусом r = n =

. В кристаллах средних сингоний (тригональной, тетрагональной и гексагональной) одно из главных направлений совпадает с главной осью симметрии кристалла. В этих кристаллах оптическая индикатриса — эллипсоид вращения, и кристаллы имеют только одну оптическую ось, совпадающую с осью вращения эллипсоида. Такие кристаллы называют одноосными. Одноосный кристалл называется оптически положительным (+), если его оптическая ось совпадает с большей осью оптической индикатрисы (эллипсоид вытянут вдоль оси вращения), и оптически отрицательным (—), если эллипсоид сжат вдоль оси вращения. Кристаллы низших сингоний (ромбической, моноклинной и триклинной) называются двухосными. Их оптическая индикатриса — трёхосный эллипсоид, имеющий 2 круговых сечения и 2 оптических оси (рис. 1).

  Вследствие несовпадения направлений векторов D и Е поляризованная плоская монохроматическая волна в кристалле характеризуется двумя тройками взаимно перпендикулярных векторов d, Н, u и Е, Н, u' (рис. 2). Скорость u' совпадает по направлению с Пойнтинга вектором S и равна скорости переноса энергии волной. Её называют лучевой скоростью волны. Скорость u называют нормальной скоростью волны. Она равна скорости распространения фазы и фронта волны по направлению нормали N к фронту. Величины u и u' связаны соотношением

,

где a — угол между векторами D и Е.

  Нормальная и лучевая скорости волны u  определяются из уравнения Френеля — основного уравнения К.:

 (2)

Здесь N_x, N_y и N_z — проекции вектора нормали N на главные направления кристалла; u_x = c/n_x; u_y = c/n_y; u_z = c/n_z главные фазовые скорости волны; с — скорость света в вакууме; n_x, n_y, n_z — главные показатели преломления кристалла.

  Т. к. уравнение Френеля — квадратное относительно u, то в любом направлении N имеются 2 значения нормальной скорости волны u₁ и u₂, совпадающие только в направлении оптических осей кристаллов. Если из точки О откладывать по всем направлениям N векторы соответствующих им нормальных скоростей u, то концы векторов будут лежать на поверхности, называемой поверхностью нормалей. Это — двухполостная поверхность; каждая полость соответствует одному значению u для данного направления N. В случае одноосного кристалла одна из поверхностей — сфера, вторая — овалоид, который касается сферы в 2 точках пересечения её с оптической осью. У двухосных кристаллов эти поверхности пересекаются в 4 точках, лежащих на 2 оптических осях (бинормалях).

  Аналогично, геометрическое место точек, удалённых от точки О на расстояние u', называется лучевой поверхностью, или поверхностью волны. Это — волновая поверхность для волн,. распространяющихся в кристалле от точечного источника, расположенного в точке О. Это также — двухполостная поверхность. В одноосных кристаллах одна из поверхностей — сфера, вторая — эллипсоид вращения вокруг оптической оси oz. Сфера и эллипсоид касаются друг друга в точках их пересечения с оптической осью. В положительных кристаллах эллипсоид вписан в сферу (рис. 3, а), в отрицательных — сфера вписана в эллипсоид (рис. 3, б). В двухосных кристаллах поверхности пересекаются друг с другом в 4 точках, попарно лежащих на 2 прямых, пересекающихся в точке О (бирадиали).

  Т. о., в кристаллах в произвольном направлении N могут распространяться две плоские волны, поляризованные в 2 взаимно перпендикулярных плоскостях. Направления векторов D₁ и D₂этих волн совпадают с осями эллипса, получающегося при пересечении оптической индикатрисы с плоскостью, перпендикулярной N и проходящей через точку О. Нормальные скорости этих волн: u₁ = c/n₁ и u₂ = c/n₂. Векторы E₁ и E₂этих волн также лежат в 2 перпендикулярных плоскостях, причём им соответствуют 2 лучевых вектора S₁ и S₂ и 2 значения лучевой скорости u₁ = u'₁/cosa и u₂ = u₂/cosa. Аналогично, для заданного направления луча S возможны 2 направления колебаний вектора Е (E₁^ E₂), соответствующие 2 значениям лучевой скорости u'₁ и u'₂.

  Зависимость лучевой скорости плоской волны, распространяющейся в кристалле, от направления распространения и характера поляризации волны приводит к тому, что световые лучи в кристалле раздваиваются. В одноосном кристалле один из преломленных лучей подчиняется обычным законам преломления и поэтому называются обыкновенным О, а второй — не подчиняется этим законам (не лежит в плоскости падения) и называется необыкновенным е (см. Двойное лучепреломление). В двухосном кристалле оба луча необыкновенные.

  Две возникающие при преломлении световые волны при распространении внутри кристалла приобретают за счёт различия показателей преломления и геометрического пути разность хода, оставаясь когерентными (см. Когерентность). С помощью поляризационного устройства можно свести направления колебаний в вышедших из кристалла волнах в одну плоскость и наблюдать их интерференцию. Интерференция линейно поляризованного белого света проявляется в виде окраски кристалла, зависящей от приобретённой этим пучком разности хода (см. Интерференция света). Иногда наблюдаются характерные фигуры интерференции (коноскопические фигуры), вид которых зависит от ориентации кристалла (рис. 4).

  В кристаллах некоторых классов симметрии, помимо двойного лучепреломления, возможно вращение плоскости поляризации. В таких кристаллах вдоль каждого направления могут распространяться две эллиптически поляризованные волны (с противоположными направлениями обхода), каждая со своим показателем преломления. Только в направлении оптической оси поляризация волн оказывается круговой, что приводит к вращению плоскости поляризации падающего на кристалл линейно поляризованного света.

  В случае сильно поглощающих кристаллов линейно поляризованная волна, распространяющаяся в кристалле, расщепляется на 2 эллиптически поляризованные волны, но с одинаковым направлением обхода. В таких кристаллах наблюдается различное поглощение волн, обладающих разной поляризацией, и др. особенности.

  Каждый кристалл обладает присущим ему комплексом кристаллооптических свойств, по которым он может быть идентифицирован. Важнейшими из них для одноосных кристаллов являются показатели преломления обыкновенной n_o и необыкновенной n_e волн; разность между ними Dn (величина двойного лучепреломления), а также зависимость перечисленных характеристик от длины волны (различного рода дисперсии). Двухосные кристаллы характеризуются более сложным комплексом свойств. В прикладной К., задачей которой является анализ минералов и горных пород, разработаны различные методы измерения этих величин для различных препаратов минералов в виде порошков, тонких пластин (шлифов). Главные из них: иммерсионный метод измерения показателей преломления с помощью специальных жидкостей или сплавов с известными показателями преломления, фёдоровский метод для определения ориентации индикатрисы с помощью столика, поворачивающего кристалл вокруг различных осей (см. Фёдорова столик). Большинство кристаллооптических измерений проводится с помощью поляризационного микроскопа. Существуют справочники, в которых собраны сведения об оптических свойствах большинства известных минералов (см. Минералогия).