Декарт начинает свой ответ с утверждения, что «сила движения (force de se mouvoir)» падающего тела возрастает пропорционально длине поперечных линий de, fg, hi и т.д. [рис. 3.2]1480. На этой диаграмме в соответствии с позднесредневековой традицией по вертикали (или, как тогда говорили, «по широте») «откладывается» время, то есть экстенсионал движения от точки a к точке b (то есть от начальной к конечной точке пути)1481, а по горизонтали («по долготе») – интенсионал, или степень движения (Декарт использовал выражение «сила движения»1482, что в нашем понимании примерно соответствует скорости или кинетической энергии движения; скажем, к моменту h скорость падающего тела достигла величины hi). Тогда площадь прямоугольника fhio будет представлять то движение, которое тело приобрело за интервал времени fh.
Рис. 3.2. К картезианскому определению возрастания «силы движения» под действием притяжения Земли (1618)
Итак, Декарт определяет величину возрастания «силы движения» под действием «притяжения Земли» в предположении, что это возрастание происходит дискретно:
я принимаю в качестве первого минимума… движения1483, обусловленного первой, которую можно представить, силой притяжения Земли, квадрат aled (то есть величина возрастания интенсивности движения падающего тела за первый промежуток времени может быть геометрически представлена квадратом aled. – И.Д.). Для второго минимума движения получаем удвоенный [квадрат], то есть dmgf; способность (force) движения, которая имелась в первом минимуме, сохраняется и к ней добавляется новая, равная ей способность (то есть за следующий промежуток времени интенсивность движения возрастает на ту же величину. – И.Д.). В третий минимум движения будет [действовать] утроенная способность… и т.д..
Таким образом, свободное падение геометрически может быть представлено треугольником abc.
Если перевести рассуждения Декарта на современный язык (хотя такими «переводами» следует пользоваться с большой осторожностью), то можно сказать, что за равные промежутки времени ∆t1, ∆t2, ∆t3 и т.д. скорость падения возрастает на одну и ту же величину, то есть движение является равноускоренным: v = at.
Но, – продолжает Декарт, – вы мне скажете, что есть части ale, emg, goi и т.д., которые выступают за этот треугольник (то есть за линию ac. – И.Д.), и потому треугольник не может объяснить эту прогрессию (то есть равномерное возрастание интенсивности движения (скорости, в современной терминологии). – И.Д.). Однако я отвечу, что эти выступающие части образуются оттого, что мы приписали широту минимуму, который должен представляться неделимым и не состоящим из частей (то есть вертикаль ab, которая отображает время падения, представлена состоящей из одинаковых дискретных частей – ad, df и т.д., тогда как в действительности время течет непрерывно, а не скачками. – И.Д.).
Далее Декарт делит «минимум» ad и сторону al пополам, получая четыре меньших квадрата (arqs и др.), тогда первым «минимумом движения» станет arqs, а вторым – qtde (который вдвое больше «первого минимума» arqs), при этом сторона qt будет представлять «удвоенный минимум способности» движения. После этого выступающими частями станут меньшие треугольники ars, ste. Затем Декарт аналогичным образом поступает с квадратом arqs, получая еще меньший квадрат aβαγ и т.д. После этого такие же операции деления проделываются со сторонами df, fh и т.д. В результате подобного деления отрезков выступающие треугольники становятся все меньше и меньше, и в итоге мы придем, как выразился Декарт, к «истинному минимуму, то есть к точке, и тогда уже не будет никаких выступающих частей». Таким образом, если перейти к непрерывно текущему времени (и, соответственно, к непрерывно возрастающей «силе движения»), то количество движения будет представлено треугольником abc.
Прежде всего следует отметить, что Декарт вовсе не доказывает, что свободное падение представляет собой равноускоренное движение, но лишь иллюстрирует это обстоятельство графически.
Кроме того, Декарт подчеркивает, что Бог в каждый момент времени создает силу притяжения, действующую на падающее тело, и постулат Бекмана о сохранении движения в вакууме он интерпретирует следующим образом: после того как Бог в первый момент падения камня создал в нем некую силу притяжения, дальнейшее движение камня в пустоте поддерживается той же силой, точнее, в каждый последующий момент Бог создает в камне ту же силу, какую Он создал в начальный момент.
Формулируя выводы из приведенного рассмотрения, Декарт утверждает, используя в качестве иллюстрации геометрическое постороение, приведенное на [рис. 3.3] (где ag = gb и af = fc), что площадь треугольника agf относится к площади трапеции gfbc (а следовательно, и соответствующие количества движения) как 1: 3 (что нетрудно доказать), откуда следует, что «часть gb, которая есть половина [ab], будет проходиться камнем в три раза быстрее, чем другая половина ag».
Рис. 3.3. К картезианскому анализу свободного падения (1618)
Но ведь до этого Декарт под экстенсионалом движения имел в виду не путь, но время! Почему же он, формулируя вывод, меняет смысл экстенсионала? Основанием для замены временного экстенсионала пространственным стало одно из принятых (еще Аристотелем) толкований скорости: быстрее, то есть с большей скоростью, движется то тело, которое за одно и то же время пройдет больший путь, или в формульной записи: при Δt1=Δt2 V1/V2 = S1/S2. Таким образом, можно допустить, что Декарт совершенно правильно полагал, что если за первый час тело прошло расстояние S, то за второй час оно пройдет путь 3S, или, иными словами, если за час тело проходит расстояние S, то за два часа – 4S, то есть S ~ t2. Именно так вывод Декарта понял Бекман. Однако цитированные выше слова из заключительного абзаца декартовского анализа можно (если исходить из буквального понимания текста) толковать иначе: вторую половину пути падающее тело проходит с втрое большей скоростью, чем первую, что, разумеется, неверно.
Обратимся теперь еще к одному документу 1618 года – дневниковой записи Декарта, где он вкратце излагает свое решение задачи, предложенной Бекманом. Запись сделана вскоре после написания рассмотренного выше документа (возможно, что этот документ уже был отослан Бекману и дневниковую запись Декарт делал по памяти). Вот как он истолковал в дневнике вопрос Бекмана и свой ответ на него:
Камень, как он (то есть Бекман. – И.Д.) сказал, падает из точки A в точку B в течение часа [рис. 3.4]. Камень при этом постоянно притягивается Землей с одной и той же силой, не теряя скорости, запечатленной в нем предыдущим притяжением. По его [Бекмана] мнению, то, что движется в вакууме, будет двигаться всегда. Его вопрос: за какое время камень пройдет этот путь (то есть AD. – И.Д.)?
Как видим, в дневниковой записи вопрос Бекмана представлен в несколько иной формулировке, чем в первоначальном документе. Это неудивительно, поскольку задача Декартом уже была решена, и потому он переформулировал вопрос в более общем виде. Но – и это самое главное – Декарт в дневнике дает на поставленный вопрос (неважно, какой именно, ибо как бы вопрос ни формулировался, речь фактически шла о зависимости пути от времени при равноускоренном движении) совершенно иной ответ:
