Вопросы для самопроверки:

– Какие факторы могут стать причиной изменения плотности? Почему большое значение численности

 может иметь высокий уровень  и/или низкий ?

Для создания нелинейной модели, чтобы спроектировать более адекватную модель, проще всего сфокусироваться на относительной величине

, показывающей долю изменения численности на общее число, то есть на темпе роста популяции за один шаг времени. Как только поймем от чего зависят темпы роста общей численности на одного человека и найдем формулу для их описания, сможем получить из этого итоговую формулу для .

При небольших значениях

 темпы роста на человека должны быть большими, можно представить себе небольшой элитарный клуб интеллектуалов с большим количеством ресурсов, доступных в его среде для поддержки дальнейшего роста численности. Однако для больших значений  дальнейшая скорость роста численности должна быть намного меньше, поскольку люди конкурируют как за идеи, так и за финансы в сфере их профессиональных интересов. Для еще больших значений  темпы роста должны быть отрицательными, это будет означать, что численность сократится. Тогда разумно предположить, что искомая величина , как функция от , имеет график, представленный на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Темпы роста численности

 в зависимости от текущего значения численности .

Конечно, нельзя предугадать, как выглядит график

 без сбора дополнительной информации. Возможно, график должен быть вогнутым или выпуклым, например. Тем не менее, это лишь первая попытка создать новую модель.

Вопросы для самопроверки:

– Постройте график темпов роста значений численности по мальтузианской модели. Чем тот график отличается от изображенного на рисунке 1.1?

Для мальтузианской модели

, поэтому тот график темпов роста представляет собой горизонтальную линию и снижения  по мере увеличения  не происходит. С другой стороны, наклонная линия рисунка 1.1 улучшенной модели приводит к формуле , для некоторых  и . В конечном итоге закономерность проявится яснее если записать уравнение прямой как  , где  – абсцисса точки пересечения горизонтальный оси,  – ордината пересечения вертикальной. Заметим, что   и  должны быть положительными. Через алгебраические выкладки получим новое разностное уравнение . Эта модель обычно называется «дискретной логистической моделью» или «дискретным логистическим уравнением», хотя, к сожалению, многие модели называются также.

Параметры

 и  в этой модели имеют физические и биологические интерпретации. Во-первых, если , то . При положительных темпах роста на душу населения население будет увеличиваться. С другой стороны, если , то . При отрицательных темпах роста на душу населения численность населения будет сокращаться.  Поэтому  называют несущей способностью окружающей среды, потому что она представляет собой максимальное количество особей, которые могут поддерживаться в течение длительного периода. Однако, когда население незначительно (т.е.  намного меньше, чем ), множитель  устремляется в 1. Поэтому для малых значений  модель аппроксимируется приближенными значениями .

Другими словами,

 играет роль , в вышеописанной линейной модели. Параметр  просто отражает то, как популяция будет расти или уменьшаться в отсутствие факторов, зависящих от плотности, когда численность намного ниже предельного значения. Как правило  называют конечной внутренней скоростью роста. Термин «внутренний» относится к отсутствию внешнего воздействия, зависящего от плотности, а термин «конечный» подчеркивает тот факту, что используются временные шаги конечного размера, а не бесконечно малые временные шаги дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки:

– Какие значения можно ожидать от

 и  в случае, когда захотите смоделировать численность ежегодно поступающих на физико-математические факультеты омских ВУЗов?

Как вы увидите в задачах ниже, существует много способов, которыми разные авторы формируют логистические модели, в зависимости от того, смотрят ли на

 или , используют ли различные множители. Ключевым моментом, который поможет распознать нелинейную модель, является то, что и , и  выражаются как квадратные трехчлены от . Кроме того, эти многочлены не имеют свободного члена (т.е. члена нулевой степени). Таким образом, логистическая модель является простейшей нелинейной моделью, которую можно придумать. Как и в случае с линейной моделью, первым шагом в понимании этой модели является выбор некоторых конкретных значений для параметров  и , а также для начальной численности  и вычисление следующих значений . Например, выбирая  и  так, что  и , получаем таблицу 1.5.