Таблица 1.2. Численность учёных в стране (сотни)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,94 3,04 4,62 6,72 9,26 11,88 14,08 15,52 16,26 16,60 16,72
1.1.7. Заполните пропуски:
а. Модели
и
представляют растущие значения, когда
– любое число в диапазоне _______, а
– любое число в диапазоне _______.
б. Модели
и
представляют уменьшающиеся значения, когда
– любое число в диапазоне _______, а
– любое число в диапазоне _______.
в. Модели
и
представляют стабильные значения, когда
– любое число в диапазоне _______ и когда
– любое число в диапазоне _______.
1.1.8. Объясните, почему модель
не может иметь смысла для описания численности популяции, когда
.
1.1.9. Предположим, что популяция описывается моделью
и
. Найдите
для
.
1.1.10. Говорят, что модель имеет устойчивое состояние или точку равновесия при
если всякий раз, когда
, имеем
.
а. Перефразируйте определение следующим образом: модель имеет устойчивое состояние при
если всякий раз, когда
, имеем
.
б. Перефразируйте определение неформально: модель имеет устойчивое состояние
, если ___.
в. Может ли модель, описываемая равенством
иметь устойчивое состояние? Объясните почему.
1.1.11. Объясните, почему модель
приводит к формуле
.
1.1.12. Предположим, что на численность определенного населения влияют только рождение, смерть, иммиграция и эмиграция, каждая из которых происходит ежегодно в размере, прямо пропорциональном численности населения. То есть, если население составляет
, то в течение периода времени в 1 год число рождений составляет
, число смертей
, число иммигрантов равно
, а число эмигрантов равно
, для некоторых
,
,
и
. Покажите, что популяция все еще может быть смоделирована равенством
и выведите формулу для вычисления
.
1.1.13. Как хорошо известно лимнологам и океанографам, количество солнечного света, проникающего на различные глубины воды, может сильно повлиять на численность живущих там организмов. Предположим, что вода имеет равномерную мутность, а количество обитателей на каждом метре в глубину пропорционально количеству поступающего света.
а. Объясните, почему это приводит к модели вида
, где
обозначает количество света, проникшего на глубину
метров.
б. В каком диапазоне должны находиться параметры этой модели, чтобы иметь физический смысл?
в. При
и
постройте график
для
.
г. Применима ли аналогичная модель к фильтрации света через полог леса? Применимо ли там предположение о «равномерной мутности»?
1.1.14. В таблице 1.3 приведены данные о численности обучающихся физмат школ.
а. Изобразите данные на графике. Соответствуют ли эти данные геометрической модели роста? Объясните почему да или почему нет, используя графические и численные методы оценки. Можете ли придумать факторы, которые приведут к отклонению от геометрической модели?
б. Используя данные только за 1980 и 1985 годы для оценки скорости роста геометрической модели, посмотрите, насколько хорошо результаты модели согласуются с данными последующих лет.
в. Вместо того, чтобы просто использовать данные 1980 и 1985 годов для оценки показателя роста числа школьников, найдите способ использовать все данные, чтобы получить то, что (предположительно) должно быть лучшей геометрической моделью. Проявите творчество. Есть несколько разумных подходов. Соответствует ли ваша новая модель данным лучше, чем модель из части (б)?
Таблица 1.3. Оценки числа школьников
Год Численность школьников (в 1 000 человек)
1980 213,260
1985 231,658
1990 245,976
1995 254,504
2000 263,368
2005 263,952
2010 302,690
2015 328,602
2020 359,980
1.1.15. Предположим, что популяция моделируется уравнением
, где
измеряется в единицах. Если решим измерить численность популяции в тысячах единиц, обозначив это число за
, то уравнение, моделирующее популяцию, могло измениться. Объясните, почему модель по-прежнему будет простой
. Подсказка: обратите внимание на то, что
.
