а. Сколько рождений в среднем доступно каждому члену зрелой группы за один временной интервал?
б. На сколько процентов уменьшается численность каждой группы в каждом временном интервале?
в. Предполагая, что незрелые не способны размножаться с течением времени, каково значение верхнего левого элемента матрицы
?
г. Что означает левый нижний элемент матрицы
?
2.2.6. Для модели из предыдущей задачи:
а. Найдите
.
б. Пусть
, найдите
и
.
2.2.7. Предположим, что структурированная популяционная модель имеет матрицу перехода
, которая обратима.
а. В чем смысл матрицы
? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получится? Если вектор численности популяции умножить на
, то что получится?
б. В чем смысл матрицы
? Если вектор численности популяции умножить на эту матрицу, то что получается?
в. Основываясь на ответах из частей (а) и (б), объясните, почему
для любого положительного целого числа
. Эта матрица часто обозначается как
.
2.2.8. Модель, которую предложил Каллен в 1985 году, данные для которой собрали Неллис и Кит в 1976 году, описывает популяцию койотов. Динамика возрастных групп – щенок, сеголетка и взрослая особь – описывается матрицей
c шаг времени 1 год. Объясните, каков смысл каждого элемента матрицы. Будьте внимательны при объяснении значения 0.11 в левом верхнем углу.
2.2.9. а. Покажите, что из
не обязательно следует равенство
вычислив
и
для
,
и
.
б. Объясните, почему если
и существует
, то
.
2.2.10. В отличие от скаляров, умножение которых коммутативно, для матриц как правило
. Вместо этого, если обратные значения существуют, то
.
а. Для
и
, без использования компьютера вычислите
,
и
для проверки этих утверждений.
б. Выберите любые две другие обратимые 2 × 2 матрицы
и
, и для них убедитесь в том, что
.
в. Выберите две обратимые матрицы 3 × 3 матриц
и
, и с помощью компьютера убедитесь, что
.
2.2.11. Тождество
можно доказать разными способами.
а. Объясните, почему
. Почему это доказывает, что
?
б. Предположим, как и в первом разделе пройденной главы, что
является матрицей перехода для популяции лесов в засушливый год, а
– матрицей для влажного года. Затем, если первый год сухой, а второй влажный, имеем
. Как выразить
через
? Как найти
зная
? Объедините полученные результаты, чтобы объяснить, как найти
через
. Как это доказывает, что
?
2.2.12. Пусть лес состоит из двух видов деревьев,
и
. Каждый год
числа деревьев вида
заменяются деревьями вида
, в то время как
деревьев вида
заменяются деревьями вида
. Численность остальных деревьев не меняется.
а. Пусть
и
обозначают количество деревьев каждого типа в год
. Выразите
и
через
и
.
б. Запишите уравнения из пункта (а) в матричном виде.
в. Используйте пункт (б) для получения формулы, выражающей
и
через
и
.
г. Выразите
и
через
и
в матричной форме.
