Динамика, показанная на рисунке 2.2. также характерна для моделей Лесли и Ашера, независимо от количества задействованных классов. Как правило, существует доминирующая тенденция роста или упадка, хотя колебания меньшего масштаба также часто присутствуют. Доминирующая тенденция похожа на экспоненциальный рост или спад в мальтузианской модели. Однако классовая структура модели порождает и более сложное поведение.

Модель леса в разделе 2.1 является еще одним примером линейной модели, которая не является ни моделью Лесли, ни Ашера. Поскольку она отслеживает два типа деревьев, а не организмы, проходящие через свой жизненный цикл, матрица перехода имеет совершенно другую форму. Это пример марковской модели, идею которой разовьём далее в главе 4. Однако по рисунку 2.1 видно, что эта модель также показывает долгосрочную тенденцию, к равновесию. В следующем разделе разработаем средство извлечения информации об основных тенденциях, создаваемых любой линейной моделью.

При моделировании этапов какого-либо развития на примере модели Ашера или иной другой нужно учитывать ряд факторов. Понимание жизненного цикла моделируемой системы позволяется выбрать естественный набор классов. Однако трудности поиска хороших оценок параметров накладывают свои ограничения, поскольку если в модели используется избыточное число классов, то появляется и много лишних параметров. Использование очень маленьких возрастных групп или множества различных этапов теоретически должно привести к более точной модели. Тем не менее, это также потребует более подробного наблюдения, чтобы получить обоснованное уточнение параметрических значений.

Введём теперь понятия единичной матрица и обратных матриц. Рассмотрев подробно типы матриц, используемых в линейных популяционных моделях, вернемся к разработке некоторых математических инструментов для их понимания.

Предположим, что линейная модель популяции использует только два класса и, следовательно, имеет 2×2-матрицу перехода

. Если популяция в момент времени  задается вектором , то вычисление популяций на следующем шаге времени просто требует умножения .

Но представьте, что заинтересованы в вычислении популяций на предыдущем временном шаге. Если знаем

 и , как найти ? Другими словами, можно ли отматывать численность популяции назад во времени, если известна матрица  , описывающая, как меняются значения при протекании времени вперед?

Если бы

 был скаляром, а не матрицей, знали бы, как это сделать. Просто «разделили» бы с обеих частей уравнения  на  , чтобы решить его относительно . Остаётся придумать, что значит «деление на матрицу».

Можно подумать об этом следующим образом: на что умножить обе части уравнения

 с левой стороны, чтобы быть исчезло  в правой части? Предположим, существует матрица  такая, что после умножения на неё получается равенство . Для избавления от , нужно, чтобы результат матричного произведения  исчез из уравнения, как-то сократился. Очевидно, что  будет матрицей размерности , и обойти это невозможно. Тем не менее, существует -матрица специального вида, которая подходит на роль нейтрального по матричному умножению элемента.

Определение. Единичная

-матрица имеет вид . В общем случае, единичная -матрица – это квадратная матрица , элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0.

Обратите внимание, что в задаче 2.1.1. (в-г) такие матрицы были нейтральны по умножению, то есть вели себя как число 1 в обычной алгебре со скалярами. Умножение любого вектора на единичную матрицу с любой стороны оставляет этот вектор неизменным. Можно проверить, что для любой матрицы

 имеют место равенства .

Возвращаясь к попытке моделирования численности популяции при переходе назад во времени, получаем

 , поэтому, если выбрать  так, чтобы , то уравнение становится разрешимым: . Другими словами, удастся решить уравнение относительно , вычислив .

Определение. Если

 и  являются квадратными -матрицами и , то говорим, что  является обратной к  и используем обозначение .

Не будем доказывать здесь, но можно показать, что для квадратных матриц если

, то . Таким образом, если  является обратной для , то  обратная для .

Прежде чем научиться вычислить обратную матрицу, проанализируем, всегда ли такая матрица будет существовать. Например,

, поэтому . С другой стороны, если , то  необратима. Чтобы понять это, посмотрите на  . Невозможно заполнить пропущенные места в верхней строке левой матрицы так, чтобы верхняя левый элемент первой строки в произведении оказался равен 1. Из-за нулевого столбца в  верхний левый элемент произведения всегда будет равным 0. Этот пример показывает, что некоторые матрицы необратимы.