Если матрица имеет равное количество строк и столбцы, то она называется квадратной. Обратите внимание, что на самом деле нет никакой существенной разницы между вектором пространства
и
– матрицей, они даже записаны идентичным образом.
Матрицы (множественное число слова «матрица») обычно обозначаются заглавными буквами, такими как
,
или
. Например, можно сказать,
– это матрица перехода, для модели леса выше, поскольку её элементами являются числа, используемые для прогнозирования будущих популяций деревьев. И переписать модель леса в матричной форме записи так
или просто
. Немного опережая события модель была выражена в простой форме
, которая очень похожа на линейные модели, рассмотренные в предыдущей главе. Остаётся понять, что имеется в виду, когда записывают
, как матрицу, умноженную на вектор.
Определим
так, чтобы уравнения в матричной форме записи и в виде системы линейных уравнения означали одно и то же. Другими словами, если естественным образом можно называть матрицы равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы, то нужно получить
.
Это приводит к следующему определению матричного умножения:
Определение. Произведением 2×2-матрицы на вектор из
называется
.
Вместо того, чтобы пытаться запомнить эту формулу, лучше поняться суть процесс матричного умножения: для получения элемента в
-той строке
-того столбца результата, необходимо умножить
-тую строку первого множителя на
-тый столбец второго множителя. Для умножения
-той строки на
-тый столбец вычисляется сумма произведений их соответствующих компонент, как при вычислении скалярного произведения векторов.
Если перемножаются матрицы большей размерности, чем 2 × 2, то действуют аналогичным способом. Заметим, что для нахождения произведения каждая строка матрицы первого множителя должна иметь столько компонент, сколько их в векторе столбце второго множителя. Это означает, если дан
-вектор из
и пытаемся его умножить слева на матрицу, то матрица должна иметь
записей в каждой строке и, следовательно, иметь
столбцов. Поскольку пока имеем дело в основном с квадратными матрицами, то будем использовать
матрицы для умножения на вектор из
.
Пример.
.
Подумайте еще раз о лесе с двумя видами деревьев. Предположим, что приведенное выше описание того, как изменяется состав леса, происходит только во влажный год, поэтому мы переименуем матрицу перехода
.
Если предположим, что в засушливые годы вид
умирает с большей скоростью, то матрица перехода для таких лет может принять вид
.
Вопросы для самопроверки:
– Что изменилось в этой матрице, почему оказалось так, что деревья
имеют более высокую смертность в засушливые годы, чем во влажные годы? Фактически, всё, что изменили, это вероятность гибели дерева
в сухой год, теперь она составляет 0,39. Остальные параметры остались такими же, как в исходной модели.
– Убедитесь, что если вероятность гибели дерева
заменяется на 0,39, то получается приведенная выше матрица
.
Предположим, что начальные популяции задаются вектором значений
, как и прежде. Если первый год сухой, то
.
Теперь предположим, что за сухом годом последует влажный год. Как это отразится на популяции? Так как
, а
, то
. Последнее значение легко вычислить путем матричного умножения:
.
Более интересный вопрос заключается в том, можно ли найти одну матрицу, умножение на которую моделирует совокупное влияние на популяцию засушливого года, за которым следовал дождливый год? Хотя и очевидно равенство
, но существует ли матрица
такая, что
?
Казалось бы, что может быть проще, для нахождения
достаточно переставить скобки в уравнении
, записав его в виде
, тогда искомая матрица
. Но для этого предстоит научиться перемножать две матрицы
и
так, чтобы всегда новая матрица
была определена, причем матричное умножение должно обладать свойством ассоциативности. Как же выглядит эта матрица
? Вместо того, чтобы экспериментировать на конкретных числах, введём обозначения
,
,
. Таким образом
,
,
,
. Подставив
и
в
и
, получим
,
, или после перестановки,
,
. Что в матричной форме записи примет вид
. Это указывает на то, как нужно определить произведение двух матриц:
