Новым и весьма плодотворным оказался предложенный Чебышевым метод доказательства Б. ч. з., основанный на применении т. н. Чебышева неравенства .

  Для независимых случайных величин, имеющих одинаковые распределения вероятностей и конечное математическое ожидание а, Б. ч. з. утверждает, что при любом e > 0 вероятность неравенства |х - а | < e стремится к единице при n ®¥. Порядок отклонений

 от а указывается предельными теоремами теории вероятностей. В типичных случаях отклонения имеют порядок

 

Соответственно, случайные отклонения суммы

 

от её математического ожидания na растут как

 

Этот факт (называемый в упрощённых популярных изложениях «законом корня квадратного из n ») даёт некоторое, хотя и грубое, представление о характере действия Б. ч. з.

  Наглядное объяснение смысла и значения Б. ч. з. даёт следующий пример. Пусть в замкнутом сосуде заключено N молекул газа. В соответствии с кинетической теорией каждая молекула беспорядочно движется внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку s стенки в течение выбранного промежутка времени в t секунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс f_k (см. Ударный импульс ). Импульс f_k является типичной случайной величиной, т.к. состояние рассматриваемого газа определяет лишь математическое ожидание а = E (f_k ) этого импульса, фактическое же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от нуля — в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку s). Сумма

 

импульсов всех молекул, сообщаемых площадке s за данный промежуток времени, является также случайной величиной с математическим ожиданием, равным А = Na. Однако в силу Б. ч. з. (который проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число N очень велико) F в действительности оказывается почти независимым от случайных обстоятельств движения отдельных молекул, а именно — почти точно равным своему математическому ожиданию А. Этим, с точки зрения кинетической теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку s является практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

  Часто приходится применять Б. ч. з. и в такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от её математического ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, например, из 1000 партий каких-либо изделий, по 100 шт. в каждой, взято для испытания наудачу по 10 шт. из каждой партии и среди испытанных 10 000 шт. обнаружено 125 дефектных. Если обозначить n_к число дефектных изделий в k-й партии, то общее число дефектных изделий равно

 

математическое ожидание числа дефектных изделий среди тех десяти, которые взяты для испытаний из k-й партии, равно S_k = (¹⁰ /₁₀₀ ) n_k , а математическое ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10 штук равно

 

В силу Б. ч. з. естественно считать, что ⁿ /₁₀ ~ 125, т. е. среди 100 000 изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фактически 1000 < n < 1500, но уже оценка 1100 < n < 1400 не была бы достаточно надёжной, а для оценки 1200 < n < 1300 совсем не имеется серьёзных оснований. Получить более точную оценку для n можно, лишь испытав большее число изделий.

  Условие независимости слагаемых в большинстве применений Б. ч. з. если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря, считать независимыми. Поэтому важно исследование условий применимости Б. ч. з. к случаю зависимых слагаемых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат А. А. Маркову , С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину . Качественно результаты их исследований сводятся к тому, что Б. ч. з. применим, если между слагаемыми с далёкими номерами зависимость достаточно слаба. Таково, например, положение в рядах метеорологических наблюдений над температурой или давлением воздуха.

  Математическая сторона вопросов, связанных с Б. ч. з., освещена также в ст. Предельные теоремы теории вероятностей и Вероятностей теория . В применениях Б. ч. з. необходимо тщательно проверять соответствие условий его применимости реальной обстановке.

  Лит.: Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. пер.— Часть 4 соч. Я. Бернулли..., СПБ, 1913); Poisson S.-D., Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités, P., 1837; Чебышев П. Л., О средних величинах, Полн. собр. соч., т. 2, М.—Л., 1947, с. 431—37; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965.

  Л. Н. Колмогоров.

Больших чисел закон (экономич.)

Больши'х чи'сел зако'н в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов. В качественно однородных совокупностях, состоящих из случайных единичных явлений, закономерности проявляются (и, следовательно, могут изучаться) лишь на достаточно большом числе единиц (случаев); эти закономерности могут быть количественно выражены только в форме средних чисел (например, средних уровней, средних долей признака или групп в совокупности, различных коэффициентов и других обобщающих характеристик); средние числа выражают их тем точнее, чем большее число единиц явления ими охватывается; отклонения этих отдельных единиц в ту и другую сторону от характеристики общей закономерности всего явления, вызываемые случайными причинами, при достаточно большом числе единиц почти взаимопогашаются. В любом массовом явлении наряду с факторами, общими для всей массы единиц, действуют факторы случайные, т. е. такие, которые в индивидуальных единицах могут быть различны, и их действие может быть направлено в разные стороны — поскольку между этими единицами имеется известная степень взаимной независимости. В результате взаимопогашения действия случайных факторов проявляется действие факторов, общих явлению, т. е. проявляется необходимость, закономерность всего массового явления. Б. ч. з. не имеет отношения ко второй группе факторов (причин), следовательно, к сущности массового явления. Он не создаёт ни самих, проявляющихся в среднем, закономерностей, ни их общей средней меры для массы единиц явления (например, уровня стоимости или производительности труда, средней нормы прибыли, вероятности заболевания и т.д.); следовательно, Б. ч. з. не в состоянии ни изменить средний уровень явления, ни вызвать устойчивость динамического ряда уровней, ни предопределить размеры отклонений от среднего уровня, ни, тем более, служить объяснению реальных причин возникновения самого уровня или отклонений от него. Отсюда ясна полная несостоятельность антинаучных попыток некоторых буржуазных учёных приписать Б. ч. з. чудодейственную, почти мистическую способность творить закономерность из хаоса любых случайностей, даже если в них внутренняя необходимость, внутренняя закономерность и не заложена, — лишь бы было «большое число» единиц, которое якобы само по себе, независимо от сущности массового явления, приводит к возникновению закономерности в нём. Б. ч. з. не образует закономерность, а лишь управляет её проявлением. На интуитивном признании Б. ч. з. уже основывались в своих демографических и статистических исследованиях Дж. Граунт (1662), У. Петти, Э. Галлей (1693), И. Зюсмильх (1741), А. Кетле. В 19 в. толкование экономических явлений, как массовых с сопутствующим действием Б. ч. з., приобретает всё большее распространение. В трудах К. Маркса, особенно в «Капитале», все категории экономической действительности и экономической науки выступают как средние величины (среднее общественно необходимое рабочее время, простой средний труд, средний в данном обществе уровень умелости и интенсивности труда, средняя скорость обращения денег, средняя норма прибыли и т.д.). Равным образом лишь как средние уровни, лишь в среднем могут проявляться, по концепции Маркса, любые экономические законы и закономерности (при капитализме действующие «слепо», стихийно). Вместе с тем Маркс и Энгельс неоднократно писали о специфической форме проявления экономических законов и закономерностей: «Совокупное движение этого беспорядка есть его порядок» (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 6, с. 438; речь идёт о движении цен); «...Общие законы осуществляются,... лишь как господствующая тенденция, как некоторая никогда твердо не устанавливающаяся средняя постоянных колебаний» (Маркс К., там же, т. 25, ч. 1, с. 176); «...внутренний закон, прокладывающий себе дорогу через эти случайности и регулирующий их, становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших массах, и... он остается поэтому невидимым и непонятным для самих отдельных агентов производства» (там же, т. 25, ч. 2, с. 396); об «экономических законах вообще» Энгельс писал: «...все они не имеют иной реальности, кроме как в приближении, в тенденции, в среднем, но не в непосредственной действительности» (там же, т. 39, с. 355). Отклонения множества цен от стоимости Маркс трактует как форму проявления закона стоимости: «...возможность отклонения цены от величины стоимости заключена уже в самой форме цены. И это не является недостатком этой формы, — наоборот, именно эта отличительная черта делает ее адэкватной формой такого способа производства, при котором правило может прокладывать себе путь сквозь беспорядочный хаос только как слепо действующий закон средних чисел» (там же, т. 23, с. 112). Позднее В. И. Ленин писал о том же в несколько иных выражениях: «...вполне естественно, что в обществе разрозненных товаропроизводителей, связанных лишь рынком, закономерность не может проявляться иначе как в средней, общественной, массовой закономерности при взаимопогашении индивидуальных уклонений в ту или другую сторону» (Полн. собр. соч., 5 изд., т. 26, с. 68). Не возникает сомнений, что и Маркс, и Ленин говорят здесь о Б. ч. з., однако Маркс называет его иным термином: Durchschnittsgesetz, т. е. «законом осреднения», «осредняющим законом», «законом средних чисел»; причину этого надо видеть в том, что факт проявления любого закона в виде средней величины Маркс считал существеннее факта его проявления лишь на большом числе случаев. Отсюда — установившееся в современной статистической науке отождествление понятий и терминов «Б. ч. з.» и «закон средних чисел», часто «закон больших (средних) чисел».