Система чисел Архимеда построена по десятичному принципу: единицы (монады), десятки (декады), сотни (гекады), тысячи (хилиады), десятки тысяч (мириады) и т. д. Мириада затем рассматривается как основа счета до числа мириады мириад (10⁸). Числа от 1 до 10⁸ образуют первую октаду (от слова восемь), а числа, в нее входящие, называются первыми. Далее следуют вторая октада, третья и т. д., до октады чисел октадных, замыкающей первый период. Она является исходной единицей второго периода, далее следуют единицы чисел третьего периода, четвертого и так до октады чисел октадных октадного периода.

Получающиеся огромные числа воспринимались как своеобразные бесконечности, шкала роста которых могла быть неограниченно продолжаема. Их с избытком хватало даже для такой задачи, как определение порядка числа песчинок, могущих полностью заполнить всю Вселенную.

Чтобы сделать задачу возможно более определенной, Архимед, исходя из гелиоцентрических воззрений Аристарха Самосского, представляет Вселенную как шар, в центре которого находится Солнце. Радиус шара считается от Солнца до неподвижных звезд. Для дальнейшего уточнения задачи принимается, что диаметр Вселенной во столько же раз больше диаметра Солнечной системы, во сколько раз этот последний больше диаметра Земли. Архимед использует экспериментальные данные астрономов, округляя их в сторону увеличения.

Единица измерения Вселенной – песчинка, принята за 0,0001 зернышка мака, которых требуется 40 штук, чтобы сравняться с шириной человеческого пальца. Подсчеты, произведенные Архимедом, показали, что искомое число песчинок будет не больше чем 10⁶³, или тысячи (10³) мириад (10⁴) чисел восьмых (10⁷⁸) первого периода.

Однако уровень вычислительно-практических приложений многих развитых математических теорий оставался все же сравнительно низким. Это объясняется оторванностью от практики, принудительностью геометрической формы, ограничением совокупности применяемых методов, отсутствием тригонометрии. Требования астрономии к математике с достаточной силой сказались несколько позже.

Официальная история удивляется, что после Евклида, Архимеда и Аполлония наступило время как бы деградации византийской математики. Такой взгляд происходит от неправильного понимания авторства и времени написания этих трудов.

Считается, что после разгрома Александрийского научного центра в VI веке остался последний центр античной науки – Афины, который так же был со временем разгромлен. На самом деле «переезд науки» в Афины – это история Афин под властью крестоносцев, XIII–XV веков. Здесь произошла встреча западноевропейской, арабской и остатков византийской культуры.

В более позднее время постепенно интерес смещается в сторону практических вычислительных методов и задач. Образцом работ подобного направления являются математические работы Герона из Александрии, в особенности его «Метрика». Стиль последней – рецептурный: для определенных классов задач формулируются правила, справедливость которых подкрепляется примерами.

В «Метрике» содержатся правила для точного и приближенного определения площадей геометрических фигур и объемов тел, правила численного решения квадратных уравнений и извлечения (преимущественно приближенного) квадратных и кубических корней. В частности, в ней приводится известная формула Герона для вычисления площади треугольника по трем его сторонам

S = [р(р-а)(р-b)(р-с)] ^1/2,

где а, b, с – стороны, p= (а + b + с)/2.

Наконец, значительную часть содержания «Метрики» составляет описание приемов землемерия и геодезических инструментов.

Значение прикладной вычислительной стороны математики еще более подчеркивается той большой и все возрастающей работой, которую математики вынуждены были вести для составления астрономических таблиц. Среди последних особо значительное место занимают таблицы хорд Птолемея, где данные приведены через каждые 30 от 0 до 180°.

На основе преимущественного роста вычислительной стороны математики, а возможно и под другими дополнительными влияниями в математике зародились элементы алгебры и начальные формы алгебраической символики. На это обстоятельство указывают методы и результаты Диофанта. Из математических сочинений этого александрийского ученого сохранились шесть книг «Арифметики» и отрывки книги о многоугольных числах. Диофант во всех задачах производит только операции с числами, нигде не высказывая общих теорем. Тем не менее для обозначения неизвестного количества в уравнении и для записи функций от него он был вынужден разработать систему символов.

Символика Диофанта основана на сокращении слов, и в истории развития алгебраической символики она знаменует переход от словесных выражений алгебраических зависимостей (риторическая алгебра) к сокращениям этих выражений (синкопическая алгебра). Следующей ступенью развития стала чисто символическая алгебра.

Неизвестная величина х в уравнениях Диофанта представлена специальным символом. Переписчики, впрочем, пользовались разными символами, что не изменяет принципиально существа дела, ибо символика не строго единообразная, имеет модификации.

Общая теория диофантовых уравнений первой степени ах+b=1, где а и b – взаимно простые целые числа, была построена в XVII веке французским математиком Баше де Мезириаком (1587–1638). Он также издал в 1621 году сочинения Диофанта на греческом и латинском языках со своими комментариями. Над созданием общей теории диофантовых уравнений 2-й степени трудились многие выдающиеся ученые: П. Ферма, Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Гаусс. В результате их усилий к началу XIX века было в основном исследовано общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными и с целыми коэффициентами.

Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чисел, которая изучает приближения действительных чисел рациональными числами; эти приближения так и называются диофантовыми.

Историки науки отмечают, что после закрытия афинской школы в бассейне Средиземноморья в развитии математики как науки наступил длительный перерыв. Но мы помним, что это за афинская школа. Это как раз время заката Византийской империи, и подтверждением тому – тот неоспоримый факт, что в рамках математических теорий «античной древности» возникли и развивались элементы более поздних математических наук: алгебры, анализа бесконечно малых, аналитической геометрии, теоретической механики, аксиоматического метода в математике.

Если сравнивать разные «части» традиционной истории, сразу видно, что умением плавать по морю и строить города ромеи (византийцы) не уступали своим предкам-эллинам; в государственных делах они также были впереди многих государств. И при этом историки науки нам говорят, что ромеи не унаследовали от эллинов любовь к натурфилософии и к точным наукам. Оказывается, для них главным видом интеллектуальной деятельности стало богословие. Монахи и императоры косо смотрели на «языческую премудрость» эллинов. И в завершение ликвидировали последний оплот знания – Академию в Афинах.

В результате возникает необъяснимый феномен: тысячелетняя Византийская империя, не знающая математики. Но загадки нет, если правильно понять, где и когда развивалось то, что мы называем математикой Древней Греции.

Сведения о математических познаниях китайцев в древности крайне скудны и разрозненны. Самым ранним математическим сочинением, если не считать трактата о чжоу-би (солнечных часах), называют трактат «Математика в девяти книгах». Считается, что это сочинение появилось как своеобразный итог математических достижений Китая к началу нашей эры. Известно даже имя автора, государственного деятеля и ученого Чжан Цаня (152 до н. э.), собравшего и систематизировавшего все известные к его времени математические знания. Вместе с тем признается, что «Математика в девяти книгах» неоднократно подвергалась переработкам и дополнениям: в I веке до н. э. этим занимался Гэн Чоу-чан, в III веке н. э. – Лю Хуэй, в VI – Чжень Луань, и в VII – Ли Чун-фэн. Были и другие.