Конечно, у поздних авторов могли быть самые разнообразные мотивы. И все же имя Гиппаса в античной традиции — это не просто некий крюк, на который было удобно повесить анонимные открытия. Аристотелю и Феофрасту Гиппас был известен как философ (Met 984 а 7; DK 18 А 9); Аристоксен упоминает о его экспериментах в гармонике (fr. 90). Достаточно детальные сообщения о его математической теории музыки и акустических опытах, содержащиеся у Теона Смирнского и Боэция (18 А 13-14), также должны восходить либо к Аристоксену, либо к какому-то другому источнику этого времени. Ямвлих упоминает Гиппаса в связи с учением о пропорциях (In Nic., p. 100), что также трудно считать чьей-то выдумкой. Итак, если пифагореец Гиппас, занимавшийся философией, музыкой и математикой, действительно существовал, а Евдем упоминал об открытии пифагорейцами иррациональности и построении додекаэдра, то поздняя традиция, связывающая эти открытия с Гиппасом, должна содержать в себе историческое ядро.[607]
У Ямвлиха сразу же за пассажем о Гиппасе (№ 1) говорится, что после разглашения математические науки преумножились, в особенности их продвинули вперед двое: Феодор из Кирены и Гиппократ Хиосский (Comm. math, sc., p. 77). У Евдема оба математика также упоминаются в одном и том же предложении (fr. 133), и это еще более повышает вероятность того, что упоминание Гиппаса восходит к Евдему.[608]
Если, однако, имя Гиппаса упоминалось в восходящем к Евдему «Каталоге геометров», почему его нет у Прокла?[609] Можно назвать по крайней мере одну существенную причину такого умолчания: сам Прокл (в отличие от Евдема) приписывает Пифагору именно те открытия, которые предшествующая традиция связывала с Гиппасом: открытие иррациональных величин и построение правильных многогранников (в их числе, естественно, подразумевался и додекаэдр). Места для математика Гиппаса в каталоге, таким образом, не оставалось! Можно предположить, что Прокл, доверившись сведениям, которые настойчиво связывали с Гиппасом разглашение чужих открытий, решил пожертвовать этой фигурой и вообще не упоминать ее. Во всяком случае, у нас есть хороший пример того, как Прокл корректирует Евдема: если последний приписывает первые три многогранника пифагорейцам, а два — Теэтету, то у Прокла уже все пять принадлежат Пифагору.
Недоброжелательность пифагорейской традиции к Гиппасу связана, конечно, не с предполагаемой выдачей математических секретов, а в первую очередь с его политическим соперничеством с Пифагором (18 А 5). Эта недоброжелательность нашла свое отражение не только в поздних рассказах о Гиппасе как главе «математиков», которым противопоставляются верные Пифагору «акусматики». Гиппас — один из немногих представителей ранней школы, которому псевдопифагорейская традиция не приписывала никаких сочинений, кроме некоего Μυστικός λόγος, направленного против Пифагора (D.L. VIII,7).
Зарождению легенд о выдаче им секретов и изгнании из общества (гибели в море) способствовало, вероятно, то обстоятельство, что термин αρρετος значил одновременно «иррациональный, не выразимый в числах» и «священный, тайный».[610] Такое объяснение содержится в источнике, который использовал Папп,[611] и оно кажется вполне разумным.[612] В его авторе резонней видеть Евдема, чем кого-либо из поздних авторов, для которых легенды давно уже стали частью пифагорейской истории. Во всяком случае, употребление термина αρρετος по отношению к иррациональным величинам относится к первой половине V в.; у Феодора появляется термин ασύμμετρος, а начиная с Теэтета постоянным terminus technicus становится άλογος.[613] Этот факт также может указывать на раннее происхождение легенды о разглашении секрета иррациональности.[614]
Поскольку традиция связывает с Феодором доказательства иррациональности величин, лежащих между √3 и √17 открытие Гиппаса традиционно относят лишь к √2. Классическое доказательство иррациональности √2, т. е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, дается в приложении к X книге Евклида. Оно опирается на учение о четном и нечетном и ведется методом reductio ad absurdum.[615] Обе эти детали указывают на его пифагорейское происхождение, но данное доказательство слишком сложное, чтобы быть первоначальным.[616] Фон Фриц, например, считал, что Гиппас открыл иррациональность, исследуя свойства правильного пятиугольника, диагональ которого также несоизмерима с его стороной. Попытки найти для них общую меру ведут к построению все новых пятиугольников, что наглядно демонстрирует бесконечность самой процедуры.[617] Однако доевклидова традиция связывает открытие иррациональности со стороной квадрата, а не пятиугольника (Pl. Tht. 147d; Parm. 140b-c; Arist. Met. 1053 а 14 f). Поэтому более предпочтительными кажутся реконструкции, основанные на отношении диагонали и стороны квадрата.[618] Одна из них, предложенная Кнорром,[619] выглядит следующим образом.
Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ ВН соизмеримы, то можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным.
Квадраты DBHI и AGFE представляют собой квадратные числа. AGFE — это удвоенный DBHI, как ясно из чертежа. Следовательно, AGFE — это четное квадратное число, и его сторона AG, равная DH, должна быть четной. Значит, AGFI делится на 4. Поскольку ABCD — это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI должно быть его удвоением. Отсюда DBHI и его сторона DB — четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DB четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.
Какую бы, впрочем, реконструкцию первоначального доказательства иррациональности √2 мы ни приняли, остается ясным, что это открытие имело кардинальную важность в становлении греческой математики. Проблемы, которые оно породило, дали импульс исследованиям Гиппократа, Феодора, Теэтета и нашли свое завершение в созданной Евдоксом теории пропорций, действительной как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. Значение открытия иррациональности многие были даже склонны переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике — по аналогии с тем, что произошло в математике на рубеже XIX-XX вв.[620] Однако эта точка зрения давно уже оставлена, ибо свидетельства такого кризиса отсутствуют.[621] Столь же мало подтверждения находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «всё есть число». К этому вопросу мы еще вернемся при обсуждении пифагорейской философии.
Важность открытия иррациональности является одной из причин, по которой многие историки математики стремятся отнести его к как можно более позднему времени, к концу V в. или даже к началу IV в. Между тем все необходимые математические предпосылки этого открытия (теорема Пифагора, теория четных и нечетных чисел, метод reduciio ad absurdum) имелись уже на рубеже VI-V вв. Нас не должно смущать то обстоятельство, что между Гиппасом и Феодором, продолжившим его исследования, прошло два поколения. Такой же или даже еще больший временной разрыв мы наблюдаем и во многих других случаях. Первые три пропорции открыл Пифагор, следующие три были найдены Евдоксом (Eud. fr. 133), родившимся на 180 лет позже. Так же обстоит дело и с двумя способами нахождения пифагоровых троек: первый из них был найден Пифагором, второй — Архитом.
