Выше мы цитировали Ямвлиха, который приписывал Пифагору открытие дружественных чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого. Хотя в целом Ямвлих — ненадежный источник, в данном случае у нас как будто нет оснований для сомнения. Другое дело, если мы обратимся к родственной задаче — совершенным числам, которые равны сумме собственных делителей, например: 1 + 2 + 3 = 6 или 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Совершенные числа рассматриваются у Никомаха (Intr. arith. 1,16), а также у Теона Смирнского (Ехр., р. 45.9 ff) и Ямвлиха (In Nic, р. 32.20 f). Никомах дает общее правило их нахождения: если сумма чисел геометрического ряда будет простым числом, то, умножив ее на последний член ряда, мы получим совершенное число (Intr. arith., 1,16.1-4). Доказательство этого правила у Никомаха, как обычно, отсутствует, но оно сохранилось у Евклида (1Х,36).
Многие историки математики связывали совершенные числа либо непосредственно с Пифагором, либо с ранними пифагорейцами.[589] Однако Буркерт отрицает это, полагая, что совершенные числа были открыты не ранее второй половины IV в.[590] Действительно, впервые совершенные числа встречаются у Евклида, пифагорейцы же, по свидетельству Аристотеля, называли совершенным число 10 (Met. 1084 а 32 f), а не 6 или 28. Ничего не сказано о них и во фрагменте Спевсиппа, хотя простые числа здесь упомянуты (fr. 28).
При отсутствии прямых свидетельств было бы опрометчивым настаивать на раннепифагорейском происхождении совершенных чисел, а тем более приписывать их открытие Пифагору. И все же отметим, что метод их нахождения сам по себе весьма прост и вполне мог быть открыт еще при жизни Пифагора. Предложение IX,36, в котором изложен этот метод, непосредственно примыкает к учению о четном и нечетном (IX,21-34), а его доказательство при некотором изменении может быть дано лишь с опорой на предложения 21-34.[591] Если это доказательство действительно было первоначальным, его следует отнести к самому раннему этапу пифагорейской арифметики.
* * *
Рассматривая математические занятия Пифагора, нельзя не заметить в них преобладания арифметической части над геометрической.[592] Такой перевес едва ли объясним лишь состоянием наших источников — его подтверждает и ряд исторических свидетельств. Диоген Лаэрций (опираясь, скорее всего, на книгу историка конца IV в. Антиклида) писал, что Пифагор больше всего внимания уделил «арифметической стороне геометрии» (VIII,11). В этом же направлении ведут нас свидетельства Аристоксена (fr. 23) и Аристотеля (fr. 191), подчеркивавших занятия Пифагора числами. Тем не менее, весьма вероятно, что Пифагору принадлежат еще некоторые теоремы первых четырех книг Евклида, пусть даже данных об этом и не сохранилось. Представленный выше перечень его открытий в математике нельзя, естественно, считать исчерпывающим.
С другой стороны, нас не должна удивлять сравнительная немногочисленность математических открытий Пифагора. Греки часто писали о математически окрашенной философии Пифагора, но почти никогда не рассматривали его как математика par excellence, и прежде всего потому, что он таковым не был. Среди самых разнообразных сфер деятельности, в которых проявился его талант, — политика, религия, философия, наука — математика по самой сути вещей не должна была занимать ведущее положение. Можно предполагать, что уже первые «профессиональные» математики — Гиппократ, Феодор, Теэтет или Евдокс — занимались этой наукой систематически и с полной отдачей духовной энергии. Но была ли для Пифагора математика важнее его политической деятельности и религиозного учения?
Для того чтобы дать сбалансированную оценку роли Пифагора в развитии математики, следует рассматривать его в реальной исторической перспективе и сравнивать не с Архитом или Евдоксом, а с его современником Фалесом, для которого математика также не была основной сферой приложения интеллектуальных сил. При таком сравнении можно с полным основанием говорить о новом этапе греческой математики, начавшемся с Пифагора.
Основа математики — дедуктивный метод — был применен в ней впервые Фалесом, причем прилагался он к фактам, истинность которых наглядна, а зачастую даже самоочевидна, например: диаметр делит круг пополам. Однако Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводятся к ее демонстрации. Те из них, которые дошли до нас (Arist. An. pr. 41 b 13-22; Met. 1051 a 26 f), показывают нормальную процедуру логических рассуждений.
Теорема Пифагора не обладает такой наглядностью, как теоремы Фалеса, и является, следовательно, важным шагом вперед. Неоднократно отмечавшуюся[593] тенденцию раннегреческой математики перенести центр тяжести с наглядности геометрического построения (зафиксированного, в частности, в таких терминах, как θεώρημα и δείκνυμι) на логическое доказательство следует связывать именно с Пифагором. Ямвлих и Прокл единодушно подчеркивают более абстрактный характер геометрии Пифагора по сравнению с Фалесом, что должно хотя бы в какой-то степени отражать текст Евдема. Во всяком случае, у Евдема сказано, что Фалес некоторые вещи доказывал καθολικώτερον, другие же — αίσθετικώτερον (fr. 133).
Хотя применительно ко времени Пифагора еще нельзя говорить о сколько-нибудь развитой теории в геометрии, потребность в ней уже явно ощущалась. Она выражалась в эксплицитном формулировании как первых основных аксиом геометрии,[594] так и первых геометрических определений (Arist. De an. 409 а 6; De sens. 439 а 31). Не случайно Фаворин утверждал, что Пифагор первым стал давать определения в геометрии (D.L. VIII,48).[595]
Если Фалес впервые занялся «угловой» геометрией в отличие от «линейной» геометрии египтян и вавилонян, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильную пирамиду и куб. Помимо геометрии он распространил дедуктивный метод на новую область — арифметику и создал в ней первые образцы теории чисел: учение о четном и нечетном и теорию фигурных чисел. С них начинается отмеченное Аристоксеном отделение арифметики как отрасли теоретической математики от практического искусства счета. Здесь же, вероятно, было впервые применено доказательство от противного, хотя с таким же успехом оно могло возникнуть и в геометрии.
Упомянем, наконец, и о других заслугах Пифагора, важность которых не меньше его прямых достижений в математике. Он был основателем той школы математиков, которая многие десятилетия определяла развитие этой науки в Греции. Говоря о пифагорейской математике, следует иметь в виду не только самого Пифагора, Гиппаса, Феодора из Кирены или Архита, но и их учеников, тех, кто воспринял основы этой науки из рук пифагорейцев: Демокрита, Гиппократа, Гиппия из Элиды, Теэтета или Евдокса. Нетрудно заметить, что за пределами этой группы не остается почти никого из значительных математиков V-первой трети IV в.
Причина столь значительных успехов лежит, конечно, не в приверженности математиков тому направлению пифагорейской мысли, которое считало число ключом к познанию мира. Хотя подобная мысль неоднократно высказывалась, никто еще не смог объяснить, каким образом это убеждение могло помочь кому-нибудь именно в математических исследованиях, в отличие, скажем, от приложения математики к исследованию природы. Во всяком случае, Гиппас, Феодор или Архит, у которых следы числовой философии отсутствуют, добились в математике куда больших успехов, чем, например, Филолай, утверждавший, что «без числа нельзя ничего познать» (44 В 4).
