По счастью, этот вспомогательный чертеж был сделан на этом же самом куске черепицы.

«Вавилоны» тмутараканской церкви середины X в. мы должны рассматривать как два сопряженных между собой чертежа: три вписанных квадрата были вспомогательным чертежом (выполненным более небрежно), необходимым для построения второго чертежа, состоящего из прямоугольников.

Каким же целям должен был служить этот сложный чертеж, ради чего создавалась такая геометрическая композиция?

Ответить на эти вопросы можно лишь, ознакомившись с математическими свойствами этого чертежа. Оказывается, что стороны прямоугольников и расстояния между узловыми точками чертежа (углами и пересечениями линий) таят в себе множество различных соотношений, которые известны в архитектуре и прикладной геометрии средневековья.

Обозначим все точки нашей фигуры буквами русского алфавита, — перечислим соотношения линий. В основе фигуры лежат шесть пар прямых линий (сторон прямоугольников), разделенных пополам, и две пары пересекающих их линий, каждая из которых разделяется на две неравные части. Если же учитывать не только изображенные на чертеже линии, но и те, которые могут быть проведены от точки к точке, то количество линий возрастет до 42 (рис. 19).

Все линии «вавилона» можно подразделить на три группы.

1. Часть линий является долями длинных сторон ВД — АЖ внешнего прямоугольника:

ВГ = ГД = (ВД)/2 = АЗ = ЗЖ = (АЖ)/2 = ЛН = ИП = УХ = СЧ;

БТ = ЦЕ = (ВД)/4 = (ВГ)/2 = и т. д.

2. Другие линии представляют собой фракции диагонали квадрата, сторона которого равна ВД или АЖ:

АВ = ДЖ = ЛН = ИП = (ВД√2)/2 = (АЖ√2)/2;

СУ = ХЧ = АВ/2 = ДЖ/2 = (ВД√2)/4 = (АЖ√2)/2;

ГФ = ШЗ = АВ/2 = ДЖ/2 СУ/2 = ХЧ/2 = (УФ√2)/2 = (БТ√2)/2 = (УХ√2)/4 = (ВД√2)/8

3. Третья группа самых коротких линий тоже представляет сочетание сторон и диагоналей квадрата; эти линии получены как разность между длинными и короткими сторонами прямоугольников.

БК = ОЕ; ГМ = РЗ = КТ = ЦО = (БК√2)/2 = (ОЕ√2)/2;

ФМ = ШР = БК/2 = ОЕ/2 = (ГМ√2)/2

Если для простоты обозначить длинную сторону через А, то при помощи этой величины мы сможем выразить все линии «вавилона». Одни из них будут представлять последовательное деление на 2: А; А/2; А/4, другие могут быть представлены иррационально:

(А√2)/2; (А√2)/4; (А√2)/8, третьи являются разностью:

А/2— (А√2)/4; (А√2)/4 — А/4; А/4 — (А√2)/8 (см. рис. 13 справа).

Линии «вавилона» образуют несколько пропорциональных рядов. Вот, например, один из них: МФ:МГ = МГ:БК = ГФ:БТ = УС:УХ = АВ:ВД.

Среди линий «вавилона» нетрудно подыскать свыше десятка отношений, очень близких к «золотому сечению»: м:М = М:(м+М). Приближенность решений определяется только при математическом анализе, но практически она неуловима. Наиболее точным является отношение: ВК:АЛ = АЛ:(ВК+ЛЛ) = АЛ:ВД. Здесь суммой двух отрезков является длинная сторона прямоугольника А.

Погрешность равна 0,003 этой стороны; при практических построениях она была мало заметна.

При помощи изучаемого нами графика можно быстро и с достаточной для практических целей точностью решить все важнейшие задачи средневековых геометров. Упомянутый выше Абуль-Вафа (940–998 гг.) посвятил специальную книгу задачам на построение равновеликих фигур. Со всей строгостью настоящего ученого обрушился он на «методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах», и дал взамен их математически безупречные, но необычайно сложные и громоздкие решения этих задач, руководствуясь «началами» Эвклида. Однако не все задачи, интересовавшие тогдашних практиков, могли быть решены строго математически — такова, например, была древняя задача о нахождении геометрическим путем квадрата, равновеликого кругу, задача «квадратуры круга»[137].

Современный Абуль-Вафе тмутараканский график из трех вписанных прямоугольников позволяет с очень большой степенью точности (хотя и не всегда теоретически верно) почти моментально решать все подобные задачи, включая и «квадратуру круга».

Рассмотрим несколько примеров, взяв за основу квадрат, сторона которого равна длинной стороне внешнего прямоугольника «вавилона» (А).

1. Удвоение квадрата, (рис. 20):

Сторона удвоенного квадрата равна удвоенной боковой стороне «вавилона» (т. е. 2АВ или 2ДЖ).

2. Построение двух равных квадратов, сумма площадей которых равна площади основного квадрата:

Сторона каждого малого квадрата равна АВ или ДЖ.

3. Построение трех квадратов на тех же условиях:

Удвоенная линия БЛ (или три другие, ей соответствующие — БИ, ЕН, ЕП) является стороной искомого квадрата.

4. Построение равностороннего треугольника, равновеликого квадрату: сторона треугольника равна удвоенной линии АЧ. Высота его будет равна удвоенной линии ТН.

5. Построение правильного шестиугольника, равновеликого квадрату:

Стороной шестиугольника будет больший отрезок стороны квадрата, разделенной в «золотом сечении», т. е. линия АЛ.

6. Построение квадрата, равновеликого кругу («квадратура круга»).

Примем диаметр окружности равным большой стороне «вавилона». Сторона искомого квадрата будет равна сумме боковой стороны «вавилона» и линии ГФ (поперечной линии, соединяющей длинные стороны всех трех прямоугольников). Погрешность здесь будет очень невелика и практически почти неощутима — 0,0023 диаметра; ошибки в задачах 3 и 5 тоже очень малы и не превышают 0,005-0,003. Наименее точно решение задачи 4 (ошибка равна 0,08). Задачи 1, 2 решаются точно.

Как видим, для средневековых практиков, осужденных Абуль-Вафой, все подобные задачи решались поразительно просто — располагая «вавилоном» в определенную меру (например, с большой стороной в «локоть»), мастера и архитекторы должны были только знать, который из 42 размеров этого графика нужно взять в качестве стороны искомой фигуры.

Зная свойства «вавилона», можно было быстро, не производя ни расчетов, ни геометрических построений, сразу же разделить локоть в отношении «золотого сечения», найти фигуры, равновеликие квадратному локтю, дать несколько пропорциональных рядов, дать графическое изображение ряда иррациональных величин:

а√2, а√3, а√4, а√4, а√6…

Неудивительно, что этот математически универсальный замечательный график мог стать еще в глубокой вавилонской древности символом зодческой мудрости, «хытрости храмоздательской».

Перечисленными выше примерами далеко не исчерпываются расчетные возможности прямоугольного «вавилона».

Обращение к древнерусским мерам длины открывает нам еще одну область применения нашего графика.

Возьмем за основу ту меру, которую сами древнерусские люди считали основной и называли «мерной саженью». Размер ее колеблется по разным данным между 176,0-176,8 см[138].

Примем среднюю величину в 176,4 см и построим квадрат со стороной в мерную сажень, а на основе квадрата — прямоугольный «вавилон», длинная сторона которого будет, как известно, тоже равна мерной сажени в 176,4 см.

Все виды древнерусских саженей займут положение основных геометрических линий этой фигуры, (рис. 21):