Гейзенберг сообразил, что «правила атомной игры» тоже не требуют знания траектории. В соответствии с этим он представил состояние атома в виде бесконечной шахматной доски, в каждом квадрате которой написаны числа Естественно, что значения этих чисел зависят от положения квадрата на «атомной доске», то есть от номера п строки и номера k столбца, на пересечении которых стоит число x_nk-

Никого не удивляет тот факт, что запись шахматной партии позволяет воспроизвести ее даже много лет спустя. Конечно, при этом мы не узнаем, как долго она длилась в действительности, что переживали тогда шахматисты и как именно двигали они пешки и фигуры. Но это и неважно, коль скоро нам интересна только игра сама по себе.

Точно так же, если нам известны числа x_nk — эта своеобразная запись «атомной игры»,— мы знаем об атоме все необходимое, чтобы предсказать его наблюдаемые свойства: спектр атома, интенсивность его спектральных линий, число и скорость электронов, выбитых из атома ультрафиолетовыми лучами, а также многое другое. Числа х_пь нельзя назвать координатами электрона в атоме. Они заменяют их, или, как стали говорить позже, представляют их. Но что означают эти слова — на первых порах не понимал и сам Гейзенберг.

Действительно, вместо квадратной таблицы чисел x_nk с таким же успехом можно нарисовать все, что угодно, скажем куб, и сказать, что именно он представляет движение электрона в атоме. Однако тут же с помощью Макса Борна удалось понять, что таблица чисел х_пь не просто таблица, а матрица.

Что означает это слово? Математика имеет дело с числами и символами, и каждый символ в ней подчиняется своим правилам действия. Например, числа можно складывать и вычитать, умножать и делить, и результат этих действий не зависит от того, в каком порядке мы их производим:

54-3 = 34-5 и 5-3 = 3-5.

Но в математике есть и более сложные объекты: отрицательные и комплексные числа, векторы, матрицы и т. д. Матрицы — это таблицы величин типа Xnk, для которых определены свои операции сложения и умножения, непохожие на правила действий с обыкновенными числами. Например, складывать и вычитать матрицы, как и обычные числа, можно в произвольном порядке. Однако результат умножения двух матриц зависит от порядка умножения, то есть %nk * Pkn Pnk • Xkn‘

Например, произведение матриц

а, -°.) ;)

явно отличается от такого же произведения, но в котором порядок умножаемых матриц обратный:

Правило умножения матриц может показаться странным и подозрительным, но никакого произвола в себе не содержит. По существу, именно оно отличает матрицы от других величин. Конечно, математики о матрицах знали задолго до Гейзенберга и умели с ними работать. Однако для всех было полной неожиданностью, что эти странные объекты с непривычными свойствами соответствуют чему-то реальному в природе. Заслуга Гейзенберга и Борна в том и состоит, что они преодолели психологический барьер, нашли соответствие между свойствами матриц и особенностями движения электронов в атоме и тем самым основали новую, атомную, квантовую, матричную механику.

Атомную — потому, что она описывает движение электронов в атоме.

Квантовую — ибо главную роль в этом описании играет понятие кванта действия h.

Матричную — поскольку необходимый для этого математический аппарат — матрицы. -

В новой механике каждой характеристике электрона: координате х, импульсу р, энергии Е — ставились в соответствие матрицы Xnk, Pnk, Enk, и уже для них (а не для чисел) записывали уравнения движения, известные из классической механики. А затем надо было только проследить, чтобы все действия над величинами x_nk, pnk, E_nk не нарушали правил математики.

Макс Борн установил даже нечто большее: он выяснил, что квантовомеханические матрицы координаты x_nk и импульса pnk — это не любые матрицы, а только те из них, которые подчиняются перестановочному (или коммутационному) соотношению

Хдй • Pkn Pnk * Xkn = /Д,

где — 1 — мнимая единица, a h = h/2n.

В новой механике это перестановочное соотношение играло точно такую же роль, как условие квантования Бора в старой механике. И точно так же, как условия Бора выделяли стационарные орбиты из набора всех возможных, коммутационные соотношения выбирают из множества всех матриц только квантовомеханические. Не случайно, что в обоих случаях — ив условиях квантования Бора, и в перестановочных соотношениях — всегда присутствует постоянная Планка h: она непременно входит во все уравнения квантовой механики, и по этому признаку их можно безошибочно отличить от всех других уравнений.

Новые уравнения, которые нашел Гейзенберг, не были похожи ни на уравнения механики, ни на уравнения электродинамики и потому никак не могли их нарушить. На языке новых уравнений состояние атома полностью задано, если известны все числа x_nk и p_nk, то есть известны матрицы, соответствующие координате и импульсу электрона.

Обратите внимание: в наших рассуждениях мы нигде не использовали понятие «движение электрона в атоме». Теперь оно просто не нужно. Согласно Гейзенбергу, движение — это не перемещение электрона-шарика по какой-либо траекто-рии вокруг ядра, а изменение состояния системы «атом» во времени, которое описывается матрицами x_nk и p_nk- Вместе с вопросами о характере движения электрона в атоме сам собой отпал и вопрос об устройчивости атома. С новой точки зрения в-невозбужденном атоме электрон покоится, а потому и не должен излучать.

Можно и дальше пытаться без формул излагать следствия механики Гейзенберга. Однако это будет так же неестественно, как попытка пересказать словами музыку. Чтобы постигнуть суть и детали квантовой механики, необходимо изучать математику, учиться работать с матрицами — одним словом, надо овладевать ремеслом физика. В матрицах нет ничего мистического или непостижимого; изучить их значительно проще, чем усвоить, скажем, латынь. Но этому, как и музыке, не следует учиться на ходу. Иначе неприятный осадок полузнания отравит даже то удовольствие, которое доступно каждому: без формул и вычислений почувствовать красоту образов и законченность понятий любой глубокой науки.

Появление матричной механики Гейзенберга физики встретили с облегчением: «Механика Гейзенберга снова вернула мне радость жизни и надежду. Хотя она и не дает решения загадки, но я верю, что теперь снова можно продвигаться вперед»,— писал Паули 9 октября 1925 г. Свою веру он вскоре сам же и оправдал: применив новую механику к атому водорода, он получил те же формулы, что и Нильс Бор на основании своих постулатов. Конечно, при этом возникли новые проблемы, однако это уже были трудности роста, а не безнадежность тупика.

Основные понятия физики — длину, время, массу, заряд и т. д. — нельзя определить однозначно с помощью слов по двум причинам: во-первых, эти понятия первичны и ни к чему другому, более простому, не сводятся; во-вторых, физика — наука количественная и понятиям сразу же необходимо соотнести числа. Существует только один способ сделать такие понятия однозначными: задать точный рецепт измерения величин, которые им соответствуют.

Мы уже определяли понятие «длина»: метр — это такая длина, на которой укладывается 1 650 763,73 длины волны красно-оранжевой линии спектра Кг-86 в вакууме (изотоп криптона с массовым числом 86). Принятая за эталон спектральная линия соответствует переходу электрона с уровня 2рю на уровень 5t/s. Определенный таким образом метр приближенно равен 1/40 000 000 части парижского меридиана, принятой первоначально в 1800 г. за эталон метра.