Поєднавши фізику руху, взаємодію між тілами та рух планет, Ньютон по-новому узагальнив результати астрономічних вимірювань і продемонстрував, що безладно нагромаджені спостереження, здійснені впродовж багатьох століть, насправді пов’язані між собою. Схожі припущення висували й науковці до Ньютона, але вони, на відміну від нього, не змогли поєднати їх в одне ціле.
Галілей, який помер за рік до народження Ньютона, запропонував ранню версію закону інерції та зміг математично описати рух багатьох тіл. Також він з’ясував, що всі тіла, скинуті з однієї висоти, падатимуть з однаковою швидкістю (за відсутності опору повітря). Проте він не зміг пояснити, чому це так. Йоганн Кеплер сформулював основні закономірності руху планет уздовж орбіти, але не розумів, чому вони так рухаються. Це пояснив Ньютон. І, як ми побачили, ці відповіді та більшість наслідків з них ніяк не можна назвати інтуїтивними.
Сили руху викликають у мене безмежний захват. Гравітація супроводжує нас усюди. Вона пронизує Всесвіт. І що найвражаюче — утім не лише це — вона діє на відстані. Ви колись замислювалися над тим, що наша планета залишається на орбіті, а ми всі живі завдяки силі притягання між двома небесними тілами, віддаленими одне від одного на 150 мільйонів кілометрів?
Рух маятників
Попри те що сила тяжіння повсюдно присутня в нашому житті, її прояви в природі часто заганяють нас у глухий кут. За допомогою досліду з маятником я дивую студентів тим, як дія гравітації суперечить нашим уявленням. Усе відбувається так.
Можливо, більшість із вас вважає, що коли гойдатися на гойдалці поруч зі значно легшою людиною, наприклад дитиною, ви рухатиметеся повільніше за неї. Але насправді це не так. Тому вас може здивувати, що час, за який маятник здійснює одне коливання (який називають періодом коливань маятника), не залежить від ваги підвішеного тіла (це тіло має назву тягарець). Зверніть увагу, що тут ідеться про так званий математичний маятник, тобто мають виконуватися дві умови. По-перше, тягарець має бути важчим за підвіс, щоб вагою останнього можна було знехтувати. По-друге, він має бути достатньо маленьким, щоб його можна було вважати просто точкою, яка не має розмірів8. Зробити математичний маятник нескладно: прив’яжіть яблуко до кінця тонкої нитки, довжина якої хоча б у чотири рази більша за розміри яблука.
На занятті я за допомогою законів руху Ньютона виводжу формулу для обчислення періоду коливань математичного маятника, а потім експериментально її перевіряю. Для цього мені потрібно припустити, що маятник відхиляється від центрального положення на невеликий кут. Дозвольте уточнити, що я маю на увазі. Якщо ви поглянете, як гойдається ваш саморобний маятник, — справа наліво, а потім зліва направо — ви побачите, що більшість часу він рухається ліворуч або праворуч. Утім у кожному повному циклі маятник двічі зупиняється, а потім змінює напрямок. Це відбувається, коли кут між ниткою і вертикаллю досягає максимального значення, яке називають амплітудою маятника. Якщо опором повітря (тертям) можна знехтувати, цей максимальний кут, на який відхиляється маятник, буде однаковий з обох боків. Формула, яку я виводжу, годиться тільки для невеликих кутів (невеликих амплітуд). У фізиці такий спосіб виведення називають малокутовим наближенням. Студенти завжди запитують: «Невеликий кут — це скільки?». Одна студентка навіть запитала дуже конкретно: «Амплітуда 5 градусів невелика? Рівняння ще виконується для кута 10 градусів, чи це вже великий кут?». Звісно, це чудові запитання, і я пропоную перевірити їх одразу.
Виведена формула досить проста і дуже елегантна, хоч і може трохи налякати тих, хто давно не мав справи з математикою:
де T — це період коливання маятника (у секундах); L — довжина нитки (у метрах); π дорівнює 3,14, а g — це прискорення вільного падіння (9,8 метра на секунду у квадраті). Отже, права частина читається так: два π, помножене на квадратний корінь довжини нитки, поділеної на прискорення вільного падіння. Я не зупинятимусь на доведенні цієї формули (за бажання ви можете переглянути запис лекції, на якій я її виводжу; посилання на відео — трохи далі в тексті).
Я наводжу це рівняння, щоб ви зрозуміли, як точно його підтверджують результати моїх дослідів. Згідно із формулою, період коливання маятника, нитка якого завдовжки 1 метр, — приблизно 2 секунди. Я фіксую час, за який маятник з ниткою такої довжини зробить 10 коливань, і отримую приблизно 20 секунд. Поділивши цей час на 10, одержуємо період 2 секунди. Потім я переходжу до маятника з коротшою в чотири рази ниткою. Згідно із формулою, період буде вдвічі меншим. Тож я вкорочую нитку до 25 сантиметрів, і маятник справді робить 10 коливань за майже 10 секунд. Результати дуже обнадійливі.
Для ретельнішої перевірки формули, ніж за допомогою невеликого маятника з яблука, я попросив сконструювати в аудиторії математичний маятник. Сталева куля масою 15 кілограмів, що прикріплена до кінця троса 5,18 метра завдовжки. Його можна побачити під кінець лекції, яка доступна тут: cutt.ly/gwrxs4Y.
Яким має бути період коливань цього маятника T?
тобто 4,57 секунди. Щоб це перевірити, як я пообіцяв студентам на початку лекції, я вимірюю період коливання для обох амплітуд — 5 і 10 градусів.
Щоб студентам було добре видно, я використовую великий цифровий таймер, що показує час із точністю до однієї сотої секунди. Я мав нагоду перевірити час своєї реакції, бо за багато років вмикав і вимикав таймер незліченну кількість разів, і знаю, що це приблизно одна десята секунди (у вдалий день). Тобто якщо я десяток разів виміряю одне й те саме, отримаю значення для періоду коливань, які відрізнятимуться не більше ніж на 0,1 (можливо, 0,15) секунди. Отже, незалежно від того, який час я вимірюватиму — одного коливання чи десяти, — похибка дорівнюватиме плюс-мінус 0,1 секунди. Тому я вимірюю час десяти коливань, адже це дає мені в 10 разів точніше значення періоду, ніж якщо вимірювати час одного коливання.
Я відводжу тягарець убік, щоб кут між тросом і вертикаллю був приблизно 5 градусів, потім відпускаю його та вмикаю таймер. Студенти вголос рахують, скільки разів хитнувся маятник, і після 10 коливань я вимикаю таймер. Дивовижно — табло показує 45,70 секунди, у 10 разів більше за мої підрахунки для одного коливання. Студенти зриваються шквалом оплесків.
Тоді я збільшую амплітуду до 10 градусів, відпускаю кулю, вмикаю таймер, прошу студентів рахувати і точно на «десять» зупиняю таймер: 45,75 секунди. Поділивши 45,75 ± 0,1 секунди на 10, отримуємо час одного коливання — 4,575 ± 0,01 секунди. Результат для амплітуди 5 градусів такий само, як для амплітуди 10 градусів (у межах похибки вимірювань). Отже, формула таки дуже точна.
Потім я запитую студентів: «Якщо я сяду на тягарець і гойдатимуся разом з ним, період коливань зміниться чи залишиться таким само?». Сидіти на цій штуці — сумнівне задоволення (дуже боляче), але якщо так треба заради науки і щоб розсмішити та зацікавити студентів, я від цього не відмовлюся. Звісно, я не можу сісти на тягарець рівно, тому що так я, по суті, вкоротив би трос, і період дещо зменшився б. Але якщо тримати тіло максимально горизонтально, щоб залишатися на одному рівні з тягарцем, довжина троса практично не зміниться. Тому я підтягую до себе тягарець, усідаюся на нього, хапаюся руками за трос і відштовхуюсь.
Коли я гойдаюся на маятнику, вмикати й зупиняти таймер, зберігши при цьому швидкість реакції, доволі складно. Проте я робив це стільки разів, що цілком упевнений, що можу досягти похибки вимірювань ±0,1 секунди. Я розгойдуюся десяток разів, студенти вголос рахують — і сміються з абсурдності мого становища під мої голосні стогони й нарікання — і коли після десяти коливань я зупиняю таймер, він показує 45,61 секунди. Отже, період коливань — 4,56 ± 0,01 секунди. «Фізика правдива!» — вигукую я, і студенти шаленіють.
