Придя к этому моменту в рассуждении, легко видеть, что полученная картина обнаруживает замечательную аналогию с существованием спектральных термов, вытекающим из комбинационного принципа. Чтобы получить квантовую интерпретацию спектральных термов и закона Ритца, достаточно лишь предположить, что частоты, соответствующие различным спектральным линиям атома, всегда пропорциональны разности двух квантованных значений его энергии, отвечающих разным стационарным состояниям. Бор прекрасно видел, что это последнее предположение совершенно естественно в квантовой теории атома. Действительно, так как различные квантовые состояния атома устойчивы, то ни в одном из этих состояний атом не должен излучать. Вывод, очевидно, прямо противоположный выводу классической электродинамики, согласно которой электроны-планеты, движущиеся с ускорением, должны были бы непрерывно излучать электромагнитные волны.
Итак, только переход атома из одного стационарного состояния в другое с изменением энергии сопровождается излучением. Бор предположил, что каждая спектральная линия соответствует мгновенному переходу атома из одного квантового состояния в другое, характеризуемое меньшим значением энергии. Избыток энергии уносится излучением. При этом в квантовой теории вполне естественно считать, что энергия излучается в виде отдельных квантов, или фотонов.
Таким образом, при переходе атома из одного стационарного состояния в другое он испускает фотон, энергия которого равна разности энергий начального и конечного состояний атома. Отсюда непосредственно следует так называемое правило частот Бора: частота спектральной линии, соответствующей переходу атома из некоторого состояния A в состояние B, равна разности энергии атома в состояниях A и B, деленной на постоянную Планка h.
Согласно этому правилу частот спектральные термы атома равны энергиям стационарных состояний этого атома, деленным на постоянную Планка. Тем самым становится понятным комбинационный принцип Ритца.
Итак, Бор построил свою квантовую теорию атома на двух основных положениях: 1) атом обладает последовательностью стационарных состояний, соответствующих движениям, удовлетворяющим условиям квантования Планка, и только эти состояния могут быть физически реализованы; 2) спектральное излучение может испускаться лишь при переходе атома из одного стационарного состояния в другое, причем частота этого излучения определяется вышеуказанным правилом частот. Задача заключалась теперь в определении энергий стационарных состояний различных атомов. Самым простым, очевидно, был случай атома водорода, атомный номер которого равен единице. В этом случае атом обладает всего одним единственным электроном-планетой, описывающим вокруг ядра кеплеровскую траекторию. Но даже для этого наиболее простого случая поставленная задача не была полностью решена в первых работах Бора. Это объяснялось тем, что кеплеровское движение не одномерное, а определяется двумя переменными, например величиной радиус-вектора и азимутальным углом электрона-планеты. Правила же квантования для двухмерного движения к тому времени еще не были известны. Бор обошел эту трудность, предположив, что движение чисто круговое, т е. считая величину радиус-вектора постоянной. В этом случае движение будет целиком определяться, очевидно, только одной переменной, азимутальным углом, т е. становится одномерным, для которого правила квантования были известны. Приравнивая интеграл действия, взятый по полному периоду движения, произведению постоянной Планка на целое число, Бор нашел выражение для энергий, соответствующих стабильным различным состояниям, как функцию целого числа, изменяющегося от единицы до бесконечности. Разделив полученное выражение для энергии на h, найдем спектральные термы атома водорода и, следовательно, частоты спектральных линий различных серий. Отсюда непосредственно следуют формулы Бальмера и аналогичные формулы для серий Лаймана, Пашена и т д. При этом находится не только общий вид этих формул, но и все входящие туда постоянные. Например, в формулу Бальмера и аналогичные ей входит некоторая постоянная, называемая постоянной Ридберга, значение ее известно с большой степенью точности из нескольких спектральных измерений. Теория Бора позволяет получить выражение для постоянной Ридберга через универсальные физические постоянные: заряд электрона, его массу и постоянную Планка. Таким образом, эта теория позволяет теоретически вычислить значение постоянной Ридберга. Найденное при этом значение блестяще согласуется со значением, полученным на основании спектроскопических измерений. Это было большим успехом теории Бора и указывало на плодотворность развитых им идей.
Однако Бор этим не ограничился и распространил свою теорию на случай ионизованного атома гелия. Гелий занимает второе, после водорода, место в таблице Менделеева, где все элементы расположены в порядке возрастающего атомного веса. Его атомный номер равен двум, и согласно планетарной модели гелий состоит из ядра, заряд которого равен удвоенному заряду протона, и двух электронов-планет.
С математической точки зрения определение квантованных движений атома гелия представляет собой весьма сложную задачу, поскольку мы имеем здесь не два, а три тела. Однако для однократно ионизованного атома гелия, т е. для атома, потерявшего под действием каких-либо внешних причин один из своих электронов, мы снова возвращаемся к проблеме двух тел, и все существенно упрощается. Для однократно ионизованного атома гелия задача сводится к рассмотренной в случае водорода с той лишь разницей, что заряд ядра в этом случае в два раза больше. Так Бор показал, что расположение спектральных линий в спектре однократно ионизованного гелия нужно описывать соответственно формулами Бальмера и другими, аналогичными, в которых вместо постоянной Ридберга должно стоять произведение этой постоянной на четыре. Это позволило установить, что серия Пиккеринга, открытая в спектрах некоторых звезд и неправильно приписанная ранее водороду, принадлежит однократно ионизованному гелию. Таким образом, квантовая теория атома помогла разобраться в некоторых опытных данных, толкование которых оставалось до тех пор сомнительным.
Наконец, теория Бора объясняла еще один, хотя и не столь существенный, но весьма странный на первый взгляд факт. Дело в том, что постоянная Ридберга, определенная из спектральных измерений с однократно ионизованным гелием, имела значение, хотя и весьма близкое, но все же в пределах точности эксперимента, отличное от того, которое было найдено из измерений с водородом (с учетом, конечно, четверки, о которой мы упоминали выше). Бор указал, что причина этого расхождения кроется в необходимости учитывать движения ядер водорода и гелия, имеющих различные массы.
Простейший вариант теории, исходящий из предположения о неподвижности ядра, является лишь первым приближением, тем более точным, чем больше отношение массы ядра к массе электрона. Поэтому для получения точных выражений нужно учесть движение ядра, совершающееся под влиянием сил, действующих со стороны электрона. Действительно, проведенный Бором более точный расчет, позволил получить соответствующие поправки, пропорциональные отношению массы электрона к массе ядра. А так как масса ядра гелия примерно в четыре раза превышает массу ядра водорода, то и поправка оказалась для водорода заметно отличающейся от той, которая возникает в случае гелия. Исправленные значения постоянной Ридберга блестяще совпали с определенными экспериментально. Таким образом, расхождение в численных значениях этой постоянной, полученное из опытов с гелием и водородом, было объяснено.
Теория атома, развитая Бором, позволила также, по крайней мере в общих чертах, понять структуру оптических спектров и других элементов. Однако при попытке непосредственно распространить расчеты Бора на атомы, обладающие большим числом электронов, мы сталкиваемся с серьезными трудностями, поскольку, с одной стороны, задача определения движения электронов чрезвычайно усложняется, а то и вовсе становится неразрешимой, а, с другой стороны, сами правила квантования движения в этом случае представляются сомнительными. И, тем не менее глубокая аналогия, существующая между спектрами различных элементов, свидетельствует об их единой природе и позволяет надеяться, что метод, увенчавшийся столь блестящими успехами в случае атома водорода, может быть обобщен на случай атомных систем, состоящих из большого числа электронов.
