Двумерный тор обычно изображается как пустой бублик. Двухшаговый процесс показывает, что эта картинка согласована с приведённым в тексте книги описанием. Когда, достигнув правого края экрана, вы попадаете назад на левый край, это равносильно отождествлению всего правого края с левым краем. Если бы экран был гибким (например, из тонкого пластика), то такое отождествление могло бы быть буквальным, если скатать экран в цилиндр и объединить вместе правый и левый края. Когда, ступив на верхний край, вы попадаете в нижний, то это тоже равносильно отождествлению этих краёв. Это достигается явным образом на втором шаге, в котором мы скручиваем цилиндр и соединяем верхний и нижний круговые края. Получившаяся фигура выглядит как обычный бублик. Обманчивый аспект этих манипуляций состоит в том, что поверхность бублика выглядит искривлённой; если его поверхность покрыть отражающей краской, то ваше отражение будет искажено. Это артефакт реализации тора в виде объекта, расположенного в объемлющем трёхмерном пространстве. В действительности, являясь двумерной поверхностью, тор не искривлён. Он плоский. Что очевидно, если его представить в виде плоского экрана для видеоигр. Именно поэтому в тексте книги я выбрал более фундаментальное описание в виде фигуры, края которой попарно отождествляются.

Искушённый в математике читатель заметит, что под словами «подходящим образом нарезать и скомпоновать» я подразумеваю факторпространства, которые возникают при факторизации односвязных накрывающих пространств по дискретным группам изометрии.

Образно говоря, можно считать, что в силу квантовой механики частицы всегда находятся в состоянии, которое мне нравится называть «квантовым дрожанием»: что-то вроде неизбежных случайных квантовых вибраций, что придаёт самому понятию частицы с определённым положением и скоростью (импульсом) приближённый смысл. В этом смысле изменения в положении/скорости, достаточно малые, чтобы быть на равных с квантовыми флуктуациями, являются квантово-механическим «шумом» и, следовательно, не имеют значения.

На более точном языке, если погрешность в измерениях положения умножить на погрешность в измерениях импульса, то результат — неопределённость — всегда больше, чем число, называемое постоянной Планка (в честь Макса Планка, одного из пионеров квантовой физики). Это, в частности, означает, что точное разрешение в процессе измерения положения частицы (небольшая погрешность) обязательно приведёт к большой неопределённости при измерении импульса частицы и, за компанию, её энергии. Поскольку энергия всегда ограничена, разрешение при измерении положения, таким образом, тоже является ограниченным.

Также отметим, что эти понятия всегда будут применяться в конечной пространственной области — как правило, в областях, размер которых сопоставим с современным космическим горизонтом (как в следующем разделе). Область конечного размера, пусть даже большая, подразумевает максимальную неопределённость при измерении положения. Если предполагается, что частица находится в данной области, то неопределённость её положения конечно же будет не больше размера самой области. Согласно принципу неопределённости, такая максимальная неопределённость в положении приводит к минимальной неопределённости при измерении импульса. Помимо ограниченного разрешения при измерении местоположения, мы видим редукцию от бесконечного к конечному числу возможных различных конфигураций положений и скоростей частицы.

Вы всё ещё можете задаваться вопросом о том, что препятствует построению прибора, способного измерять положения частицы с ещё большей точностью. Это также касается энергии. Как описано в книге, если вы хотите измерить положение частицы с большей точностью, необходимо использовать более точный прибор. Для определения местоположения мухи в комнате можно включить обычный верхний свет. Для определения положения электрона необходимо осветить его узким лучом мощного лазера. Для ещё более точного определения положения электрона надо использовать ещё более мощный лазер. Когда более мощный лазер бьёт по электрону, его скорость сильно искажается. Таким образом, ключевой момент здесь в том, что точность определения положения частицы достигается за счёт огромных изменений скорости частицы — и, следовательно, огромных изменений её энергии. Если есть предел того, сколько энергии может иметь частица, а такой предел есть всегда, то также есть предел того, насколько точно можно измерить её положение.

Таким образом, ограниченность энергии в ограниченной пространственной области приводит к конечному разрешению при измерении как положения, так и скорости.

Наиболее прямой способ проделать это вычисление состоит в использовании результата, который без привлечения технических подробностей будет описан в главе 9: энтропия чёрной дыры — логарифм числа различных квантовых состояний — пропорциональна площади её поверхности, измеренной в единицах планковской площади. Заполняющая наш космический горизонт чёрная дыра будет иметь радиус примерно 10²⁸ сантиметра, или примерно 10⁶¹ планковских длин. Таким образом, её энтропия будет примерно 10¹²² в единицах планковской площади. Следовательно, полное число различных состояний составляет примерно 10, возведённое в степень 10¹²², или 10¹⁰¹²².

Можно поинтересоваться, почему не учитываются поля. Как мы увидим, описания частиц и полей дополнительны друг к другу — поле может описываться в терминах определённых частиц, из которых оно состоит, подобно тому как океанские волны могут описываться в терминах составляющих их молекул воды. Выбор описания в терминах частиц или полей является в основном вопросом удобства.

Расстояние, проходимое светом за заданный промежуток времени, сильно зависит от скорости расширения пространства. В последующих главах мы обсудим доводы, указывающие на то, что темп пространственного расширения ускоряется. Если так, то существует предел того, насколько далеко свет может распространиться в пространстве, даже если ждать сколь угодно долго. Удалённые области пространства будут удаляться от нас так быстро, что излучаемый нами свет не сможет достичь их; аналогичным образом испущенный ими свет не сможет достичь нас. Это будет означать, что космические горизонты — та часть пространства, с которой можно обмениваться световыми сигналами, — не будут расти бесконечно. (Заинтересовавшийся читатель может найти соответствующие формулы в комментарии ^{49}.)

Дж. Эллис и Дж. Бандрит исследовали повторяющиеся миры в бесконечной классической вселенной; Ж. Гаррига и А. Виленкин изучали такие миры в квантовом контексте.

В ранних работах Дикке рассматривал идею осциллирующей Вселенной, которая многократно проходит через вереницу циклов Большой взрыв — расширение — сжатие — схлопывание и снова Большой взрыв. В любом цикле будет присутствовать заполняющее пространство остаточное излучение.

Проблема горизонта довольно тонкая, и приведённое мной описание решения на основе инфляционной космологии несколько отличается от стандартного, поэтому, возможно, читателя заинтересует чуть более подробное обсуждение этого вопроса. Сначала опять постановка проблемы: рассмотрим две области в ночном небе, настолько удалённые друг от друга, что они никогда не вступали в контакт. Для определённости скажем, что в каждой области находится наблюдатель, который контролирует термостат, поддерживающий температуру в его области. Эти наблюдатели хотят, чтобы две данные области имели одинаковую температуру, но поскольку наблюдатели не имели возможности контактировать, они не знают на какую температуру устанавливать свои термостаты. Естественная идея состоит в том, что поскольку миллиарды лет назад наблюдатели находились гораздо ближе, то тогда им было проще установить контакт и сравнять температуры в своих областях. Однако, как отмечалось в основном тексте, в стандартной теории Большого взрыва эти рассуждения не проходят. И этому есть причины. В стандартной теории Большого взрыва Вселенная расширяется, но в силу гравитационного притяжения темп расширения со временем замедляется. Это очень похоже на подбрасывание мяча вверх. Во время подъёма он сначала быстро удаляется от вас, но в силу притяжения Земли постепенно замедляется. Замедление пространственного расширения имеет серьёзные последствия. Для пояснения я воспользуюсь аналогией с подброшенным мячом. Представьте, что мяч достигает верхней точки за шесть секунд. Поскольку изначально (после того как отрывается от вашей руки) он двигался быстро, он может пройти первую половину расстояния за две секунды, но из-за уменьшения скорости пройдёт четыре секунды, прежде чем он одолеет вторую половину пути. Таким образом, на половине временного интервала, через три секунды, он пролетел больше половины пути. Аналогичным образом происходит процесс замедляющегося во времени пространственного расширения: в середине космической истории два наших наблюдателя будут разделены расстоянием бо́льшим, чем половина современного расстояния между ними. Давайте подумаем, что это значит. Два наблюдателя будут ближе друг к другу, но им будет тяжелее — а не легче — установить контакт. Посылаемый одним из наблюдателей сигнал будет располагать половиной от прошедшего интервала времени для достижения второго наблюдателя, но расстояние, которое он должен будет преодолеть, больше половины от современного расстояния. Половина времени для взаимодействия на расстоянии, превышающем половину текущего расстояния между ними, осложняет установление контакта между наблюдателями.