Действительно, к классам утвердительных и отрицательных по качеству суждений Н. А. Васильев добавляет в своей воображаемой логике новый класс — индифферентных (аналог акцидентальных в логике понятий). Принцип двузначности суждений довлел над умами математиков в течение нескольких тысячелетий. Поскольку всякий концепт истинностного значения принято считать суждением независимо от того, несет ли он смысл какого-либо предложения (см.: [97, с. 32]), то набор истинностных значений, состоящий лишь из двух значений — «истинно» или «ложно», введением индифферентного суждения, по сути дела, расширяется до третьего («колебание между утвердительным и отрицательным суждениями»). Понятно, что введение нового класса суждений было сопряжено с существенным пересмотром многих логических принципов, а также природы законов логики (см.: [40]).

Академик А. И. Мальцев писал, что, хотя в России до Великой Октябрьской социалистической революции не имелось устойчивых алгебраических школ, в нашей стране был выполнен ряд «первоклассных алгебраических исследований, оставивших большой след в истории математики. В первую очередь мы хотим здесь отметить замечательные работы Е. И. Золотораева, Е. С. Федорова, Ф. Э. Молина, а также Н. А. Васильева» [71, с. 473]. А. И. Мальцев разъяснил, какие моменты исследований Н. А. Васильева представляют особую ценность в связи с развитием и современным состоянием математической логики. «Некоторые разделы современной алгебры, — указывал он, — посвящены изучению алгебраических структур, возникших в математической логике. Работа этого рода в России была начата в Казанском университете. . . Здесь Платон Сергеевич Порецкий. . . прочитал в 1887/88 г. первый в нашей стране курс математической логики. . . Уже после смерти П. С. Порецкого Казанский университет снова стал родиной яркой новой идеи — идеи многозначных логик, выдвинутой Н. А. Васильевым. . . Логика Васильева была вариантом трехзначной логики, хотя и без достаточно разработанной ее "алгебры”. Это дает Н. А. Васильеву почетное место в истории науки в ряду основателей многозначных логик» [71, с. 474—475]. Добавим, что Н. А. Васильев не ограничивался признанием возможности одной только трехзначной логики. Согласно Васильеву, допустимо «какое угодно число качественно различных суждений», т. е. мыслимы k-значные логики. Первые формализованные системы многозначной (а точнее — трехзначной) логики были построены десять лет спустя после выхода работ Васильева Я. Лукасевичем и Э. Постом.

Введение нового класса индифферентных суждений сопровождалось у Н. А. Васильева последовательной и обстоятельной критикой закона исключенного третьего, непосредственно связанного с отказом от принципа двузначности логических суждений, причем им различаются «определенно-числовые суждения» от «неопределенно-числовых суждений». Это придает его работам содержание, которое справедливо расценивается как предвосхищение ряда положений не только интуиционистской, но и конструктивной логики [92]. Как раз на это содержание обратил внимание академик Н. Н. Лузин. Критика закона исключенного третьего проводилась Н. А. Васильевым почти одновременно с родоначальником интуиционизма Л. Э. Я. Брауэром и уж, разумеется, совершенно независимо от него. Однако идеи Брауэра в дальнейшем имели более счастливую судьбу.

А. И. Мальцев, естественно, не мог быть информирован о том, что начаты исследования формальных систем, толерантных к противоречию, известных ныне как паранепротиворечивые. А между тем, по мнению Н. А. Васильева, воображаемая логика представляла собой именно такую систему. «Возможно, еще с большим основанием, чем в случае многозначных логик, Н. А. Васильев может считаться предшественником неклассических логик, построенных для исследования противоречивых, но нетривиальных теорий», — подчеркивала Аида Арруда, активно пропагандировавшая идеи Н. А. Васильева и внесшая крупный вклад в развитие паранепротиворечивых логик [99, с. 4] (см. также: [107, с. 5]).

Мнение А. И. Арруды о том, что Н. А. Васильев «еще с большим основанием», чем в случае многозначных логик, должен считаться основателем паранепротиворечивых логик, обосновано тем обстоятельством, что центральный пункт воображаемой логики — это отказ от закона противоречия, находящегося в самом ядре развития логических традиций Аристотеля, а именно данное положение выражает и суть паранепротиворечивых систем. В этих системах А и не-А могут одновременно иметь статус теорем, и их конъюнкция, значит, тоже теорема. Освобождая логику от закона противоречия, Н. А. Васильев осознавал, что в результате открывается перспектива создать в высшей степени оригинальные с классической точки зрения логические системы. И хотя автор воображаемой логики утверждал, что «каждому пункту нашей (т. е. аристотелевой. — В. В.) логики соответствует определенный пункт» воображаемой логики, содержание каждого из соответствующих «пунктов», конечно же, оказалось весьма различным. Так и паранепротиворечивая логика, и математика, развитие которых по историческим меркам можно сопоставить с порой младенчества, достаточно существенно отличаются от привычных нам логики и математики не только по своим результатам и концептуальной базе, но и по нормам рассуждений, доказательств и, вероятно, даже по канонам строгости. Уже построен ряд систем в паранепротиворечивой теории множеств, делаются шаги на пути создания паранепротиворечивой теории моделей, алгебраических структур, арифметики, ведутся исследования различных паранепротиворечивых логик, в том числе модальных и временных, причем одна серия паранепротиворечивых формальных систем получила название Васильевских ^{6}. Кроме того, расширяется поле приложений новой концепции, в рамках которой имеется серьезная надежда формализовать наивную теорию множеств, ньютоно-лейбницеву версию математического анализа, ранние варианты квантовой механики и другие противоречивые, содержащие антиномии теории.

Страница одной из современных работ, посвященных анализу логики Н. А. Васильева

Сторонники паранепротиворечивой логики говорят даже о формализации некоторых «урезанных» фрагментов диалектического мышления. Главная привлекательность (и вместе с тем необычность) паранепротиворечивых систем заключается в возможности их использования для формализации такого рода ситуаций, в которых стандартные методы классической математики порождают теории, неизбежно сопровождаемые парадоксами, антиномиями.

Говоря о паранепротиворечивой математике и логике, нельзя не упомянуть о том, что во многом благодаря их развитию среди ученых западных стран наблюдается дальнейший отход от философских взглядов позитивизма и своего рода «открытие» диалектики. Как известно, позитивизм считает диалектику несостоятельной потому, что в диалектике признается существование истинных противоречий, а наличие противоречия в теории якобы тривилизирует ее в силу разрушительного действия логического закона Дунса Скотта («из противоречия следует все что угодно»). Подобный аргумент, в частности, неоднократно выдвигал К. Поппер, чем пытался обосновать свое неприятие диалектического способа мышления. Этот же аргумент, кстати, был положен К. Поппером в основу крайне низкой умозрительной оценки возможностей паранепротиворечивой логики. «Удивительно, — писал Н. Да Коста, — что философ может так же настаивать на своем мнении относительно возможностей паранепротиворечивой логики, как в этом упорствовал Поппер. В действительности. . . существуют паранепротиворечивые системы, значительно более сильные, чем классические. . . Можно с соответствующими оговорками выдвинуть положение, что диалектика не поддается критике с логической точки зрения» [55, с. 124]. В настоящее время среди западных ученых, в первую очередь среди логиков и математиков, укрепляется мнение, что попытки отвергнуть диалектику отражают «реакционные и отсталые тенденции», а создание паранепротиворечивых систем сыграло роль «спускового механизма для изучения диалектики» [107, с. 16].