Если бы Луивилль и Эрмит не обнародовали свои открытия, едва совершив их, то в 1874 году не было бы известно ни одного трансцендентного числа, и Кантор доказал бы существование бесконечного количества чисел неизвестного рода. Нужно отметить, что в тот момент некоторые математики отнеслись к ним с большим скепсисом. Что же произошло с числом π? В 1882 году немецкий математик Карл Луис Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) доказал, что число π тоже является трансцендентным, и положил таким образом конец поискам квадратуры круга: стало ясно, что эта задача не может быть решена.

На этом мы закончим разговор о статье 1874 года. Но в чем же заключались ее революционные последствия, которые Вейерштрасс посоветовал скрыть?

Вернемся к диагональному методу: с его помощью было доказано, что попытка установить взаимно однозначное соответствие между множествами простых и вещественных чисел окончится неудачей, так как всегда останутся вещественные числа без пары. Теперь вспомним пример с парами танцоров из предыдущей главы. Если бы нам заранее сказали, что вне зависимости от того, как сформируются пары, все равно останутся женщины без партнера, мы сразу заключили бы, что женщин больше, чем мужчин. Если в любом случае остаются вещественные числа без пары, это означает, что их больше, чем натуральных, но не в том смысле, что одно множество входит в другое, а в смысле их мощности. Кардинальное число (мощность) вещественных чисел («количество членов» в нем) больше, чем у натуральных чисел.

Целые, натуральные и рациональные числа обладают одинаковой мощностью, а «уровень бесконечности» вещественных чисел выше, чем натуральных. Их бесконечное множество «больше» бесконечного множества натуральных. Таким образом, Георг Кантор не только осмелился сравнить два бесконечных континуума — это возмутило бы и Аристотеля, и Галилея,— но и пришел к выводу, что некоторые бесконечности больше других. Иными словами, его доказательство касательно трансцендентных чисел таково: бесконечность множества вещественных чисел больше бесконечности алгебраических чисел, следовательно, должно быть бесконечное множество вещественных чисел, которые не являются алгебраическими, то есть бесконечные трансцендентные числа. В 1874 году эти идеи были настолько революционными, что Вейерштрасс посоветовал Кантору скрыть их. Но почему же тогда Кантор все-таки занялся ими? Из чистого противоречия?

Число называется алгебраическим, если является решением уравнения типа a_nxⁿ + a_n-X1^n-1 + ... + a_X1 + a₀ = 0, где a_n, a_n-1,... ,a₀ — целые числа, а a_n ≠ 0. Например, 7/5 — алгебраическое число, так как является решением уравнения 5х - 7 = 0; еще один пример алгебраического числа — √3, которое является решением уравнения х² - 3 = 0. Это уравнение называется уравнением второй степени, так как наибольшая степень х в нем — х²; уравнение, приведенное вначале, — уравнение первой степени (напомним, что x = x1). Мы можем доказать, что √3 является не только решением уравнения x² - 3 = 0, но и уравнения третьей степени х³ - х² - 3х + 3 = 0, и уравнения четвертой степени х⁴ - 9 = 0, и уравнения пятой степени, и шестой и так далее. Однако √3 не является решением уравнений степени меньше 2, которое при этом удовлетворяет всем вышеуказанным условиям. Самая меньшая возможная степень для √3 — вторая, поэтому говорят, что √3 — это алгебраическое число степени 2. Другими алгебраическими числами степени 2 являются, например, √2 и 

 (1 + √5)/2,

(Другой стороны, можно доказать, что 3√2 — число степени 3, что √2 + √3 — число степени 4, и что все рациональные числа, как в случае с 7/5, являются алгебраическими числами степени 1. Итак, чтобы удалось построить отрезок с помощью линейки без делений и циркуля, его длина должна соответствовать алгебраическому числу, причем степени 1, 2, 4, 8,16 или любой другой, делящейся на 2. Поскольку π — не алгебраическое число, отрезок этой длины такими инструментами построить нельзя. Также нельзя построить отрезок длиной √2, поскольку, хотя это и алгебраическое число, его степень равна 3.

Он задумался о них еще в ходе первых исследований в Галле, и результаты работы привели его к тому, чтобы отнестись к ним серьезно. В 1883 году Кантор писал:

«К мысли о том, чтобы рассматривать бесконечно большое не только в форме безгранично возрастающего [...], но также закрепить его математически с помощью чисел в определенной форме завершенно бесконечного, я пришел почти против собственной воли и в противоречии с ценными для меня традициями, логически вынужденный к этому ходом многолетних научных усилий и попыток. Поэтому я не думаю, что могут найтись доводы, на которые я не сумел бы ответить».

Какие же исследования подтолкнули его допустить возможность существования актуальной бесконечности? Ответ на этот вопрос будет дан в следующей главе.

Теория математической бесконечности постоянно бросает нам вызов, когда мы сталкиваемся с правильными, при этом полностью противоречащими здравому смыслу выводами.

В ее рамках доказывается, что целое не всегда больше любой составляющей его части, и приводятся примеры разных «уровней бесконечности». Эта теория тесно связана с областью математики, восходящей к классическому периоду Античности, — с исчислением.

Георг Кантор и Рихард Дедекинд познакомились случайно в 1872 году во время летних каникул. Несмотря на различия — Кантор был натурой страстной и импульсивной, а Дедекинд гораздо более спокойным и рассудительным,— они обнаружили много общего в своем видении математики. С этой встречи они почти десять лет вели очень интенсивную переписку, в ходе которой впервые обсудили идеи Кантора, впоследствии изложенные в его статьях. В письме от 5 января 1874 года, отправленном из Галле, Кантор спрашивал мнения Дедекинда по следующему вопросу: 

«Может ли некая поверхность (например, квадрат, включая углы) вступить в однозначное отношение с кривой (например, с отрезком прямой) таким образом, чтобы каждой точке плоскости соответствовала точка кривой, и наоборот?» 

Задача, сформулированная Кантором, была естественным продолжением идей, над которыми он работал в то время. В 1873 году он уже знал, что мощность множества вещественных чисел больше мощности натуральных чисел. Другими словами, он знал, что уровень бесконечности вещественных чисел больше, чем уровень натуральных, хотя в статье 1878 года не заявил об этом открыто.

В этой ситуации логично задаться вопросом: возможно ли множество с еще большей мощностью, чем мощность вещественных чисел? Именно об этом и думал Кантор, когда писал Дедекинду. Проследим, как вопрос о возможности множества с мощностью, большей, чем мощность вещественных чисел, приводит нас к вопросу в письме Кантора.

В предыдущей главе мы убедились, что каждой точке на числовой оси соответствует вещественное число, и наоборот: каждому вещественному числу соответствует точка на оси. Другими словами, между вещественными числами и точками на оси наблюдается взаимно однозначное соответствие (то есть два множества эквивалентны или равномощны). Когда мы говорим о мощности — это то же самое, что говорить о вещественных числах и точках на оси. Какое множество можно выдвинуть в качестве кандидата на большую мощность по сравнению со множеством точек на оси? Поскольку ось — одномерный объект, логично было бы предположить, что нам подошел бы объект с двумерной поверхностью.

Если мы думаем о множестве всех вещественных чисел, а им соответствует числовая ось, почему Кантор говорит об отрезке, то есть только о части прямой, ограниченной двумя точками? Дело в том, что можно доказать: все отрезки, вне зависимости от их длины, эквивалентны друг другу, у них одинаковая мощность и, в свою очередь, любой отрезок эквивалентен полной оси. Таким образом, при изучении мощности не имеет значения, о чем идет речь, — об отрезке или об оси.