Гипотеза — это утверждение, ложность или истинность которого еще не доказана. Многие из них касаются бесконечности, например гипотеза о совершенных числах. Совершенное число равно сумме собственных делителей (включая 1, но не считая само число). Например, 6 — совершенное число, поскольку его делителями являются 1,2,3, а 6 = 1 + 2 + 3. Еще один пример — число 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14. Согласно пока не подтвержденной гипотезе, количество совершенных чисел бесконечно.

Две новые науки, упомянутые в заголовке этого труда, — статика и динамика, а вся книга в целом представляет собой критику аристотелевских законов физики. Хотя Галилей и разрушает большую часть постулатов древнегреческого ученого, он разделяет его настороженность в отношении актуальной бесконечности. Рассмотрим аргументы, предвосхищающие рассуждения Кантора.

Для начала вообразим себе огромный бальный зал, в котором находится большое, но конечное количество мужчин и женщин (см. рисунок 3). Предположим, что мы хотим узнать, кого из присутствующих больше: женщин, мужчин или же тех и других поровну. Один из способов ответить на этот вопрос состоит в том, чтобы пересчитать всех собравшихся женщин, потом мужчин и сравнить полученные данные. Поскольку это количество конечное, подсчет производится без проблем. Но есть и более изобретательный метод: когда заиграет музыка, можно попросить всех разделиться на пары (см. рисунок 4). В каждой паре должен быть один мужчина и одна женщина.

Если партнеров хватает всем и ни один мужчина и ни одна женщина не остаются без пары, то в зале одинаковое количество мужчин и женщин. Если же у всех женщин есть пара, но несколько мужчин остались одни, значит мужчин больше. Наконец, если пара есть у всех мужчин, но не у всех женщин, то в зале больше женщин.

Таким образом, если у нас имеются две законченные группы и каждый член одной из них соотносится с членом из противоположной группы так, что не остается «лишних», мы можем быть уверены, что в этих группах одинаковое количество членов. Можно ли перенести этот принцип на бесконечные группы?

От лица персонажа Сальвиати Галилей рассмотрел две конкретные группы: состоящую из натуральных чисел 0,1,2,3, 4,5,... и из квадратов чисел, получаемых при умножении числа на само себя, 0,1,4,9,16, 25,... Очевидно, считает Галилей, что если мы объединим группы квадратов чисел и не квадратов, то этих последних будет больше.

РИС.З

РИС. 4

Следовательно, в первой группе больше членов, чем во второй. На самом деле Галилей начинал считать с 1, а не с 0, как мы, но это не меняет сути.

С другой стороны, продолжает ученый, каждому числу из первой группы можно подобрать число из второй. Достаточно взять натуральное число и его квадрат.

Это распределение по парам доказывает, что натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, и противоречит сказанному выше — тому, что натуральных чисел больше. Так что же верно? Как решить этот парадокс? Галилей отвечает так:

«[...] понятия «больший», «меньший», «равный» не имеют места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и конечным».

Другими словами, он приходит к выводу, что абсурдно сравнивать группы с бесконечными членами и нельзя сказать, что одна бесконечная группа больше, меньше или равна другой бесконечной группе. И тем не менее примерно 250 лет спустя Георг Кантор решил измерить и сравнить бесконечные группы и сделал выводы, которые и Галилей, и Аристотель сочли бы неприемлемыми. Об этом следующая глава.

«Книга песка» — это рассказ аргентинского писателя Хорхе Луиса Борхеса (1899-1986) из одноименного сборника, опубликованного в 1975 году. В нем протагонист, сам Борхес, покупает у уличного торговца книгу. Выясняется, что в ней бесконечное количество страниц. У нее нет ни начала, ни конца; открыв какую-то страницу, ее невозможно найти вновь. Этот чудовищный предмет внушает Борхесу страх, но он боится, что и огонь, который сожжет бесконечную книгу, будет «тоже бесконечным», и вся планета задохнется от его дыма. Тогда Борхес решает спрятать ее на первой попавшейся полке в Национальной библиотеке Буэнос- Айреса.

Хорхе Луис Борхес, 1976 год.

Аристотель, Галилей и многие другие мыслители, жившие до XIX века, безапелляционно заявляли, что говорить о количестве членов бесконечного множества не имеет никакого смысла. В 1870-е годы этот подход был еще настолько распространен, что из осторожности никто бы не поставил его под вопрос, тем более в научной статье. Однако в 1874 году Кантор впервые ввел понятие «количества элементов бесконечного множества» и обозначил его как «кардинальное число (или мощность) множества».

Получив докторскую степень, еще в Берлине Кантор опубликовал три статьи в Zeitschrift fur Mathematik und Physik («Физико-математический журнал»): одну в 1868-м, а другие две — в 1869 году. В первой он рассматривал классическую арифметическую задачу и решал ее методами, которые даже по тем временам не были инновационными, зато в двух других приблизился к тому, что впоследствии обрело форму теории бесконечности.

Обе эти статьи были посвящены вычислению. В первой статье — (Jberdie einfachen Zahlensysteme («О простых числовых системах») — рассматривалось одно свойство иррациональных чисел, во второй — Zwei Satze iiber eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Produckte («Две теоремы о разложении чисел на бесконечные множители») — возможность представить определенные числа как результат бесконечных произведений.

Тема «бесконечного произведения» затрагивала область исчисления, но надо пояснить, что здесь речь шла о потенциальной бесконечности. Так, если умножить 0,5 само на себя «бесконечное количество раз», то в результате получится 0, но это надо понимать в том смысле, что чем больше раз мы совершим это умножение, тем ближе мы подойдем к 0. Действительно, если мы перемножим 0,5 дважды, то получим 0,25; трижды — 0,125; четырежды — 0,0625, и так далее. Результат будет постепенно приближаться к 0. Здесь суть заключается в приближении, а не в актуально бесконечном произведении 0,5.

В наши дни [...] доказательства [...] Кантора по праву украшают мировой музей истории математики.

Мартин Гарднер, ^Нескучная математика. Калейдоскоп головоломок*, 1975 год

Пока Кантор писал эти статьи, на жизнь он зарабатывал уроками математики в женской гимназии и корпел над диссертацией на получение степени хабилитированного доктора. Она была необходима, чтобы преподавать в университете. Тема диссертации Кантора на латыни звучала как De transformatione jоплатит temariarum quadraticorum («О преобразовании тернарных квадратичных форм»).

Самым большим его желанием было получить место в университете Берлина или Геттингена, но пришлось довольствоваться положением в Галле. Он заступил на должность в 1869 году. Этот университет имел знаменательное прошлое, но в XIX веке слава его померкла. Кантор непрерывно пытался изыскать способ перевестись в Берлин или Геттинген, но все было напрасно, и ученый очень переживал по этому поводу.

В Галле под руководством Генриха Эдуарда Гейне (1821— 1881) Кантор окончательно сосредоточился на вычислении и с 1870 по 1872 год опубликовал пять статей (которые будут рассмотрены в следующей главе). В них он исследовал определенный тип бесконечных сумм. И хотя, как и бесконечные множества, они понимались потенциально, а не актуально бесконечными, именно вследствие этих первых работ в Галле Кантор задумался об актуальной бесконечности. Впервые она появилась в его научных трудах, хоть и неявно, в статье 1874 года.