Противостояние платонизма и формализма также связано с решением проблемы континуум-гипотезы. Напомним, что она была сформулирована Кантором и утверждает, что 2X0 = X1.
В 1940 году Курт Гедель доказал, что в рамках любой из обычно используемых систем аксиом для теории множеств невозможно доказать ложность этого равенства. А в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934-2007) доказал, в свою очередь, что невозможно доказать и то, что оно верное. Таким образом, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута ни одной из использующихся сейчас систем аксиом. Так верная она или ложная? Для формалистов этот вопрос не имеет смысла: аксиомы — всего лишь правила игры, установленные произвольно, они не описывают никакую внешнюю «истину».
Согласно этой точке зрения, к любой теории множеств можно добавить новую аксиому, которая позволит или подтвердить, или опровергнуть континуум-гипотезу. Платоники же считают, что вне зависимости от наших аксиом равенство 2X0 = X1 является либо объективно верным, либо ложным, и рано или поздно будет найдена такая система аксиом, которая решит этот вопрос однозначно. Таким образом, в рамках формализма этот вопрос закрыт, в рамках платонизма — остается открытым.
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
В 1935 году впервые собрался Николя Бурбаки. Эта фраза кажется странной, но в действительности Николя Бурбаки — не человек, а коллективный псевдоним, который взяла себе группа преимущественно французских математиков. Целью первой встречи группы было установление способов достижения назначенной цели (над которыми Бурбаки работает и сейчас, хотя члены группы, разумеется, сменились).
Как мы увидели, аксиомы Цермело — Френкеля (речь только об этих конкретных аксиомах, потому что они чаще всего используются) позволили наконец решить проблему парадоксов теории множеств, расчистив путь для программы Фреге по обоснованию математики на понятиях множеств. Его попытался возобновить Рассел, но безуспешно. Целью Бурбаки было завершить проект Фреге. Для этого на первом собрании в 1935 году математики договорились написать серию томов под названием «Начала математики», каждый из которых был бы посвящен отдельной области этой науки. В каждой книге разбираемые понятия рассмотрены с максимально возможной логической строгостью, чтобы создать устойчивую базу для дальнейшего развития. Так или иначе, основой этих определений была теория множеств.
На сегодняшний день из-под пера Бурбаки вышло более дюжины томов. Несмотря на критику слишком сухого стиля, они имели и продолжают иметь огромное влияние на установление логических основ современной математики. С другой стороны, хотя сочинения Бурбаки должны были стать базой для работы других ученых — исследователей, которые создают и открывают новые понятия и теоремы, — их влияние распространилось и на преподавание математики, особенно во второй половине XX века, посредством так называемой «современной математики».
НИКОЛЯ БУРБАКИ
Согласно вымышленной биографии, Николя Бурбаки был генералом французской армии греческого происхождения. Уйдя в отставку, он якобы посвятил себя изучению математики и жил в несуществующем городе Нанкаго: скорее всего, это название является комбинацией городов Нанси во Франции и Чикаго в США, так как некоторые создатели Бурбаки были тесно связаны с тамошними университетами. «Николя Бурбаки» — это коллективный псевдоним, который избрала себе в середине 1930-х годов группа математиков, в основном французских.
Считается, что они выбрали его отчасти в шутку, отчасти чтобы не подписывать длинным списком фамилий работы, сделанные несколькими учеными.
Несмотря на то что почти все члены группы стремились сохранить в тайне свою принадлежность к ней, сейчас нам известно, что под псевдонимом Бурбаки скрывались от 10 до 20 участников, а среди создателей группы были такие известные французские математики, как Андре Вейль (1906-1998), Жан Дьедонне (1906-1992) и Клод Шевалле (1909-1984).
Портрет вымышленного генерала Николя Бурбаки.
В то время в рамках этого направления было предложено преподавать все математические понятия исходя из идей теории множеств, даже в начальной школе (что вызвало прямо противоположные мнения). Однако это педагогическое течение утратило почти весь свой авторитет и полностью заброшено.
И тем не менее теория множеств жива и прекрасно себя чувствует. Как и задумывали Кантор, Дедекинд и Фреге и благодаря работе Бурбаки, сегодня она стала основой всей математики.
Список рекомендуемой литературы
Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.
Bunch, B.H., Matemdtica insolita (Paradojas у paralogismos), Mexico, Reverte, 1997.
Cantor, G., Fundamentes para una teoria general de conjuntos (Escritos у correspondencia selecta), edicion de Jose Ferreiros; Barcelona, Critica, 2006.
Hawking, S. (compilador у comentarista), Dios creo los ndmeros (Los descubrimientos matemdticos que cambiaron la historia), Barcelona, Critica, 2010.
Kasner, E., Newman, J., Matemdticos e imagination, Barcelona, Salvat, 1994.
Lavine, S., Comprendiendo el infinite, Mexico, Fondo de Cultura Economica, 2005.
Martinön, A. (compilador), Las matemdticos del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.
Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.
Smullyan, R., Satan, Cantor у el infinito, Barcelona, Gedisa, 1995.
Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.
Указатель
Acta Mathematica 94-96, 114
ZF 154, 158
аксиомы Цермело — Френкеля 154, 156, 160
алеф 122, 123
Аристотель 8-10, 24-28, 31, 33, 38, 54, 79, 86
арифметика
ординальная 128
трансфинитная 123-126
Архимед 77
бесконечность
актуальная 9-11, 20, 23-28, 36, 38-40, 42, 56, 68, 72- 73, 90, 91, 102, 106, 142
потенциальная 9, 10, 20, 23-26, 36, 42, 69, 72, 98, 99, 102, 105, 106
Больцано, Бернард 10, 92
Борель, Эмиль 116, 117
Борхес, Хорхе Луис 31, 122
Бурали-Форти, Чезаре 144, 145, 152
Бурбаки, Николя 160-162
Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм 13, 19, 37, 37, 43, 47, 54, 55, 69, 82-83
взаимно однозначное соответствие 38-40, 41, 45-48, 51, 54, 60, 62, 65-69, 127, 129-132
Галилей, Галилео 10, 27, 28-31, 37-39, 54
Гейне, Генрих Эдуард 36, 93, 95, 99, 100, 103, 104
Гедель, Курт 154, 158, 159
Гильберт, Давид 44, 102, 115, 116, 118, 143-145
отель Гильберта 44
Гутман, Валл и 13, 37
Дедекинд, Рихард 13, 17, 18, 26, 37, 40, 43, 47, 59-61, 69, 78, 82, 84, 89-94, 106, 118, 119, 123, 143, 148, 150, 162
дедекиндово сечение 92
пересечения 119
диагональный метод 13, 48-51, 54, 130
Евклид 148, 149
единственность 99, 100, 102— 104
исчисление 17, 35, 57, 70, 78, 82-86, 96, 101, 105, 116, 118, 134, 144, 148
Кавальєри, Бонавентура 77
квадратура круга 52, 54
Конгресс математиков международный
в Гейдельберге (1904) 147
в Париже (1900) 116
в Цюрихе (1897) 143
континуум 100, 147
гипотеза 67-69, 108, 116, 122, 135, 158
проблема 91, 100
Коэн, Пол 159
Крелле журнал 37, 69, 70, 72, 75
Кронекер, Леопольд 13, 19, 20, 70-73, 75, 85, 94, 121
Лебег, Анри 116, 117
Лейбниц, Готфрид Вильгельм фон 12, 17, 77-81, 98, 99
Линдеманн, Карл Луис Фердинанд фон 54, 72
Лиувилль, Жозеф 53, 72, 85
