«В силу этого исключительного положения, отличающего ее от всех других наук и объясняющего сравнительную легкость и отсутствие принуждения в занятии ею, она заслуживает совершенно особенным образом имени свободной математики — название, которое, будь мне предоставлен выбор, я дал бы охотнее, чем ставшее обычным наименование «чистая» математика». 

Таким образом, математик может отпустить свое воображение в «свободный полет» и оперировать понятиями как ему вздумается — при условии, что они не ведут к логическим противоречиям. И если противоречий нет, то, как утверждал Кантор, можно быть уверенными, что эти объекты действительно существуют. Выходит, математик, способный выводить новые понятия, одновременно и ученый и художник. Эти идеи не просто отражали мысль Кантора, они, особенно в этой знаковой статье, играли стратегическую роль, о чем мы поговорим в следующих главах.

Но вернемся к первым годам жизни Кантора. У его отца было слабое здоровье, и в 1856 году врачи посоветовали ему уехать от суровых петербургских зим в зону более благоприятного климата. Тогда Кантор-отец завершил все свои дела в России, и семья перебралась в Германию. Сначала они поселились в Висбадене, где Георг посещал гимназию, но вскоре переехали во Франкфурт. Ученый всегда с ностальгией вспоминал детство, проведенное в Санкт-Петербурге, и хотя всю оставшуюся жизнь прожил в Германии, никогда не ощущал себя там как дома. Насколько известно (и это очень похоже на его романтическую и даже экзальтированную натуру), после 1856 года он больше никогда не писал по-русски. По дневникам времен гимназии видна его все возрастающая склонность к математике. Хотя отец настаивал на том, чтобы Георг изучал инженерное дело, в 1863 году он поступил в Берлинский университет, желая посвятить себя своему настоящему призванию, и даже страсти, — математике. В то время это был один из главных мировых математических научных центров. Здесь преподавали знаменитые математики Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер, оба они стали учителями Кантора. Также его наставником был Леопольд Кронекер, со временем тот оказался одним из самых яростных противников теории бесконечности.

Кантор окончил Берлинский университет в 1867 году и спустя два года получил место профессора в Галльском университете. Забегая вперед, отметим, что именно в Галле ученый развил свою теорию математической бесконечности, именно там он сделал открытия, благодаря которым стал одной из важнейших фигур в математике. Его идеи не всегда встречали понимание и, напротив, часто вызывали отторжение. Мы уже упомянули о Кронекере, который сделал все возможное, чтобы воспрепятствовать распространению идей Кантора. Еще один пример относится к 1874 году, когда Кантор захотел опубликовать свои первые открытия в исследовании бесконечности. Черновик его статьи увидел Вейерштрасс и посоветовал Кантору не упоминать о самых радикальных выводах разбираемых теорем. Более того, он предложил вообще не говорить о бесконечности. Почему у Кантора было так много противников? Какие выводы следовали из статьи 1874 года и в чем заключалась их революционность? Чтобы ответить на эти вопросы, мы должны сначала ознакомиться с историей бесконечности.

Что такое бесконечность? Точнее, что мы имеем в виду, когда утверждаем, что совокупность объектов бесконечна? Прежде всего уточним, что будем использовать слово «объект» в самом широком значении, включающем в себя и абстрактные, и воображаемые объекты. Например, эта группа может состоять из всех дней декабря 3000 года.

Проанализируем сперва противоположное понятие, которое нам гораздо ближе, — конечность. Что мы подразумеваем, говоря, что некая группа объектов конечна?

Само по себе это слово означает «то, что заканчивается», «то, что не продолжается бесконечно». В таком случае принято думать, что группа объектов конечна, если хотя бы теоретически их можно пересчитать по одному так, что в определенный момент подсчет завершится.

Родители Кантора — Георг Вольдемар Кантор, успешный предприниматель, и Мария Анна Бойм, виртуозная скрипачка.

Мемориальная доска на доме в Санкт- Петербурге, где родился Кантор.

Берлинский университет, 1880 год. Здесь в 1867 году Кантор получил степень доктора математики.

Совокупность всех дней декабря 3000 года, которую мы привели выше, конечна. Возьмем еще один пример: представим, что всех взрослых людей, населяющих Землю в данный момент, попросили герметически закрыть бутылки с водой. Количество молекул кислорода, содержащихся в миллиардах этих бутылок, все равно будет конечным. Разумеется, на практике в этом случае было бы чрезвычайно трудно подсчитать все объекты, входящие в эту группу, но конкретные сложности не имеют значения для понятия конечности. Главное, что теоретически рано или поздно подсчет завершился бы, даже если на это ушли бы века. Бесконечной же группа является, если при пересчете по одному всех составляющих его частей они никогда не закончатся. Подчеркнем, что в этом определении мы используем слово «никогда» не в метафорическом смысле, не как синоним «очень большого количества времени», его надо понимать буквально: «никогда, бесконечно».

Понятие бесконечности — это замечание очень важно — трактуется двумя различными способами. Она может быть потенциальной или актуальной.

Чтобы понять разницу между ними, представим себе человека, который записывает все натуральные числа (числа, которые получаются путем прибавления 1, начиная с 0, то есть 0, 1, 2, 3, 4,...). Он начинает писать, в какой-то момент доходит до 100, потом до 1000, наконец до 10000. Работа, за которую он взялся, не закончится никогда, потому что когда он дойдет до 100000, ему надо будет продолжить со 100001, когда дойдет до 1000000 — с 1000001 и так далее. Он никогда не доберется до последнего натурального числа, просто потому что его не существует, эти числа никогда не закончатся.

Я против использования бесконечных величин как чего-либо законченного, это использование недопустимо в математике.

Карл Фридрих Гаусс, письмо от 1831 года

Писец поймет, что всей его жизни не хватит, чтобы завершить этот труд, и возьмет ученика, чтобы тот продолжил записывать числа после него. Этот второй писец, в свою очередь, возьмет еще одного ученика и так далее.

Будет ли список чисел, составленный всеми этими писцами, бесконечным? Ответ «да, будет, но только в потенции». Список чисел не является статичной группой, он постоянно растет, и этот рост никогда не закончится. На определенный момент времени — не важно, насколько далеко в будущем, — список будет конечным, но продолжит расти без ограничений.

Таким образом, потенциальная бесконечность — это бесконечность списка, который конечен на каждый момент времени, но может расти безгранично. В этом случае бесконечность приобретает негативный оттенок — это свойство, которое делает невозможным завершение работы.

Теперь возьмем группу, состоящую из всех натуральных чисел, абсолютно всех без исключения (вне зависимости от того, записаны они или нет). Разумеется, список будет бесконечным, только в таком случае мы имеем дело со статичной, завершенной бесконечностью. В эту группу входят все числа, к ней больше ничего не надо добавлять. Это и есть актуальная бесконечность.

Перенесем это понятие на такие величины, как вес, объем или длина. Например, если нарисовать отрезок (прямую, соединяющую точку А с точкой В), его длина, разумеется, будет конечной. Но геометрия говорит нам, что продолжать его можно сколько угодно. И если мы предположим, что это продолжение будет бесконечным, то получим линию с потенциально бесконечной длиной. Она всегда конечна, но способна бесконечно возрастать (см. рисунок 1).