Теперь вернемся к вопросу, сформулированному Кантором в письме от 5 января 1874 года: может ли одномерный объект (отрезок, взятый как бесконечная совокупность точек) иметь такую же мощность, что и двумерный объект (квадрат, также взятый как бесконечное множество точек), или, наоборот, мощность квадрата будет больше?

Решение задач, связанных с математической бесконечностью, является, пожалуй, одним из главных успехов нашей эпохи, которым мы можем гордиться.

Лорд Бертран Рассел, 1910 год.

В этом же письме Кантор утверждал, что, разумеется, кардинальное число точек квадрата должно превосходить кардинальное число точек отрезка. Дедекинд согласился, но Кантор также добавлял, что задача тем не менее «очень сложна».

И действительно, на пути к ее решению было много препятствий, и чтобы найти его, Кантору потребовалось три года. Он изложил его Дедекинду в письме от 20 июня 1877 года, и уже 22 июня Дедекинд отправил свое послание, в котором оспаривал аргументацию Кантора. Тот ответил двумя письмами от 25 и 29 июня. В последнем, очень характерном для Кантора, говорилось: 

«Прошу Вас извинить мое рвение, если я слишком часто злоупотребляю Вашей добротой и снисходительностью. То, что Вы сообщили, для меня настолько неожиданно и ново, что я не мог бы, так сказать, достичь некоего спокойствия духа, прежде чем получу, мой многоуважаемый друг, Ваше мнение по поводу верности [моего предположения]. Пока Вы не одобрите мои выводы, я могу лишь сказать je le vois, mais je ne le crois pas [«я это вижу, но этому не верю», франц.]. 

Мы можем предположить, что Дедекинд помог Кантору достичь «некоего спокойствия духа», потому что его ответ, отправленный из Брунсвика 2 июля, начинался так: 

«Я еще раз рассмотрел Ваше доказательство и не нашел в нем никаких пробелов; я убежден, что Ваша интереснейшая теорема верна и поздравляю Вас».

Ответ, к удивлению самого Кантора, заключался в том, что между точками отрезка и точками квадрата существует взаимно однозначное соответствие. Другими словами, несмотря на то что у квадрата есть еще одно измерение, его кардинальное число (мощность) не больше, чем у отрезка.

Как это доказать? Отрезок — это часть прямой между двумя фиксированными точками. Следовательно, можно приравнять его к совокупности всех вещественных чисел, заключающихся между этими точками. Поскольку 0 и 1 отмечены в произвольных точках числовой оси, мы можем приравнять любой отрезок к множеству вещественных чисел, расположенных именно между 0 и 1. Так, на рисунке 1 изображена точка, соответствующая числу 0,75.

РИС.1

РИС. 2

Как представить точки квадрата в числовом виде? Как известно, координаты на земном шаре определяются по двум осям — ширине и долготе. Аналогично и у точек квадрата имеются две координаты — абсцисса и ордината (рисунок 2).

Как определить положение точки Р квадрата на осях абсциссы и ординаты? Для этого, как показано на рисунке 2, выберем две непараллельные стороны квадрата и, как в случае с отрезком, отметим на них 0 и 1. Нулю будет соответствовать их общая вершина.

Чтобы узнать координаты точки Р, спроецируем ее перпендикуляр на каждую из выбранных сторон (как точка на земном шаре проецируется на экватор и на Гринвичский меридиан). Одним из чисел будет абсцисса Р_у вторым — его ордината.

Теперь докажем, что вещественные числа между 0 и 1, включая обе эти точки, эквивалентны множеству, которое получается, если мы уберем 1. Графически первая группа выглядит как отрезок, ограниченный с двух сторон, а вторая — как отрезок без одного конца (см. рисунок 1). Чтобы установить соответствие (см. рисунок 2), сопоставим 1 из первой группы с 1/2 второй, 1/2 первой группы — с 1/3 второй, 1/3 первой — с 1/4 второй и так далее. Остальные числа первой группы, то есть все, отличные от 1/2,1/3,1/4 (как 3/4, например), будут соотнесены с самими собой. Таким же образом мы можем доказать, что отрезок без одного конца соотносится с отрезком, не имеющим ограничений. Следовательно, все три отрезка — отрезок с двумя концами, отрезок без одного конца и отрезок без ограничений — эквивалентны друг другу.

РИС. 1

Изобразим отсутствие точки как пустую окружность.

РИС. 2

Таким образом, каждая точка квадрата определена двумя координатами. Сначала ставят абсциссу, а потом ординату: мы будем говорить о точках координат 0,2 и 0,7, подразумевая, что 0,2 — значение по абсциссе, а 0,7 — по ординате.

Задача заключается в том, чтобы установить взаимно однозначное соответствие между вещественными числами, находящимися между точками 0 и 1, и парами чисел между 0 и 1 так, чтобы каждому числу соответствовала единственная пара, а каждой паре — только одно число.

Предположим, есть число 0,213421342134... Какой паре координат оно соответствует? Возьмем цифры, стоящие в нечетных позициях после запятой (первую, третью, пятую и так далее). Это числа 232323... Затем рассмотрим четные позиции. Это числа 141414... Число 0,213421342134... соответствует, таким образом, паре координат 0,232323... и 0,141414...

Аналогично, если у нас есть точка с координатами 0,232323... и 0,141414..., чтобы получить соответствующую точку на отрезке, возьмем первое число абсциссы, первое число ординаты, потом второе число абсциссы, второе число ординаты и так далее. Мы получим число 0,21342134... (см. рисунок 3).

Теперь докажем, что два отрезка разной длины эквивалентны. Сначала проведем две прямые через концы отрезков и обозначим точку их пересечения буквой О. Затем проведем еще прямые через точку О. На рисунке показано, как с их помощью соотнести с каждой точкой Р на одном отрезке точку F на другом.

Еще один пример. Если у нас есть точка с координатами 0,2 и 0,7, запишем эти числа как 0,20000... и 0,70000... (количество нулей не имеет значения). Этой паре будет соответствовать число 0,270000..., то есть 0,27. На рисунке 4 показаны и другие примеры этого соответствия. То есть мы видим, что каждому числу в промежутке от 0 до 1 соответствует конкретная пара координат и каждой паре координат соответствует конкретное число. Другими словами, мы установили взаимно однозначное соответствие между любым отрезком и любым квадратом: следовательно, мы можем утверждать, что у этих множеств одинаковая мощность. Выше мы сказали, что любой отрезок равномощен полной оси. Аналогично, мы можем доказать, что мощность квадрата такая же, как мощность всей плоскости.

Таким образом, мы приходим к выводу, что любая прямая, любой отрезок, любой квадрат и плоскость имеют одинаковую мощность. Это верно и для трехмерных объектов, так как можно доказать, что мощность отрезка равна мощности куба, которая, в свою очередь, равна мощности всего трехмерного пространства.

РИС. 3: Взаимно однозначное соответствие между отдельными числами и парами чисел.