Аналогично мы можем доказать, что если к множеству с мощностью X₀ прибавить два объекта, то результатом опять будет множество мощностью X₀ , то есть X₀ + 2 = X₀ ; это же справедливо и для X₀ +3 = X₀ и X₀ + 4= X₀ , и так далее для всех натуральных чисел. Эти равенства свидетельствуют о том, что если к счетному множеству прибавить конечное количество объектов, мы снова получим счетное множество.

Что происходит с X₀ + X₀ ? Другими словами, какую мощность мы получим, объединив два счетных множества? В «Основаниях·» Кантор доказал, что объединением двух счетных множеств будет также счетное множество. Например, натуральные числа и отрицательные -1,-2, -3, -4,... в результате дадут множество целых чисел. Следовательно, мы можем сказать, что X₀ + X₀ = X₀ .

Рассмотрим последний пример. Мы уже отметили, что у множества ординальных чисел первого класса (то есть натуральных) мощность равна X₀ и что если мы прибавим к ним множество ординальных чисел второго класса (которое начинается c ω. ω + 1, ω + 2,...), то образованное множество будет иметь мощность X₁ . Кантор же доказал, что и множество ординалов второго класса само по себе имеет мощность X₁ . Если к множеству мощностью X₁ (то есть только ординалов второго класса) прибавить множество мощностью X₀ (ординалы первого класса), мы получим множество с мощностью X₁ (ординалы первого и второго классов вместе); в терминах трансфинитной арифметики это означает, что X₀ + X₁ = X₁ (см. рисунок 4).

В действительности мы можем доказать, что дважды сложив одно и то же бесконечное кардинальное число, в результате получим его же (как в случае с X₀ + X₀ = X₀ ), и если мы сложим два разных бесконечных кардинальных числа, то результатом будет большее из них ( X₀ + X₁ = X₁). Следовательно, можно утверждать, что X₁ + X₁ = X₁ и X₂ + X₂ = X₂ .

РИС. 3

РИС. 4

Рассмотрим еще одну операцию трансфинитной математики, но сначала необходимо ввести несколько терминов. Множество надо понимать как вещь в себе, отличную от членов, которые его составляют. Так, Q, множество всех рациональных чисел, и I, множество иррациональных, являются каждое одним объектом. Тогда мы можем представить множество, составленное только этими двумя объектами — Q и I, — которое мы условимся называть D. Членов D всего два: это Q и I, следовательно, его мощность равна 2. Не следует путать D с объединением Q и I, которое получается, если в одно множество собрать все члены двух множеств, и в результате дает множество всех вещественных чисел R. Число 3/2, например, является членом Q и R, но не D. Здесь можно провести аналогию со множеством, образованным планетами солнечной системы, назовем его 5. В нем восемь членов: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. С другой стороны, Земля сама по себе может быть представлена как множество, члены которого — человеческие существа.

В рамках трансфинитной арифметики помимо суммы мы можем определить произведение кардинальных чисел. Для этого надо обратиться к так называемому декартову произведению множеств. Если А и В — произвольные множества, их декартово произведение будет записываться как А x В и определяться как множество, образованное всеми парами, первые члены которых являются элементами А, а вторые — В. Как это делается в текстах по теории множеств, пара, образованная, например, числами 1 и 2, обозначается как (1,2). Порядок записи элементов очень важен, поскольку (1,2) — не та же самая пара, что (2,1). Поэтому обычно говорят об упорядоченных парах. Итак, если А — это множество, образованное числами 0 и 1, а В — числами 2,3 и 4, то А х В — это множество, состоящее из пар (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4). Обратим внимание на то, что А имеет мощность 2; В — мощность 3, а А х В — мощность 6. Как следствие из предыдущего примера, произведение мощности А на мощность В будет мощностью А x В (в отличие от того, что происходит в случае сложения, здесь не имеет значения, есть ли у А и В общие члены). Чему равно X₀ х X₀ ? Если мы возьмем множество всех натуральных чисел N (мощность которого, как мы знаем, равна X₀ ), то исходя из предыдущего определения X₀ ∙ X₀ — мощность N x N (множество всех пар натуральных чисел). Далее будет доказано, что N х N счетное.

Чтобы доказать, что N х N счетное, запишем все составляющие его пары в последовательность. Начнем с единственной пары, дающей в сумме 0, потом пары, сумма которых равна 1, затем — 2 и так далее.

(0,0), (0,1), (1,0), (0,2), (1,1), (2,0), (0,3), (1,2), (2,1), (3,0),...

Эта запись позволяет нам установить взаимно однозначное соответствие между «индивидуальными» натуральными числами и парами натуральных чисел:

Это соответствие доказывает, что N х N счетное, следовательно, его мощность равна X. Итак, с одной стороны, произведение мощностей дает понять, что мощность N x N равна X₀ ∙ X₀ . С другой стороны, мы только что доказали: мощность N х N равна X₀ . Отсюда следует, что X₀ ∙ X₀ = X₀ .

Мы — члены Земли, но не 5, поскольку не являемся планетами Солнечной системы. С точки зрения S каждая планета — самостоятельный объект, и не имеет никакого значения, как он образован. Аналогично, множество D определенное выше, состоит из двух членов, и для него не важно, из чего, в свою очередь, состоят они.

Теперь рассмотрим множества, образованные натуральными числами. Например, множество N, состоящее из всех натуральных чисел, множество четных чисел, нечетных, простых; множество, состоящее только из числа 45; только из тех чисел, которые оканчиваются на 8; состоящее только из чисел 5,7 и 22 и многие другие, каждое из которых, как в случае с Q и I, должно приниматься как самостоятельный объект. Итак, мы можем рассмотреть множество, члены которого — это все множества, могущие быть образованными при помощи натуральных чисел — как упомянутые выше, так и все остальные возможные множества. Это новое множество обычно обозначается 'P(N) и читается как «части N», а его члены, следовательно, — это множества, а не числа. Множество всех четных чисел — член 'P(N), как и множество, состоящее из числа 2; но само число 2 — не член 'P(N), так как его члены — только множества. Здесь для теории множеств проходит тонкое, но очень важное различие: число 2 и множество, состоящее из числа 2, — не одно и то же. Чтобы подчеркнуть это различие, множество из числа 2 обычно записывается как {2}. Фигурные скобки позволяют нам графически показать разницу между 2 — числом — и {2} — множеством. Так же, например, множество, образованное числами 2 и 34, обозначается {2, 34}, а множество четных чисел — {0, 2, 4, 6, 8,...} (см. рисунок). Таким образом, множество D упомянутое выше и состоящее из множеств Q и I, будет записано как {Q и I}.

Арифметику кардинальных чисел нельзя путать с арифметикой ординальных. Кардинальные числа связаны с понятием количества, а их сумма — с идеей добавления элементов. Следовательно, как мы только что увидели, X₀ + 1 = X₀ , то есть X₀ + 1 не больше X₀ . Ординальные же числа выражают понятие «места в последовательности», и их сумма связана с идеей продвижения по этой последовательности. Так, например, ω + 1 обозначает позицию, идущую непосредственно за ω, и поэтому ω + 1 больше, чем ω. В «Обоснованиях» Кантор также писал и об ординальной арифметике, которая не рассматривается в этой книге.