РИСУНОК 2: Для того чтобы объединение не было равно сумме, у двух множеств не должно быть общих элементов.

В свою очередь, сумма чисел определяется посредством объединения множеств. Так, когда мы говорим: «1 + 1 = 2», на самом деле мы утверждаем, что если даны два множества и кардинальное число каждого равно 1, то их общее кардинальное число будет равно 2 (рисунок 2 на предыдущей странице).

Таким же образом все математические понятия могут быть сведены к понятиям теории множеств. Мнение о том, что математика основана на теории множеств, серьезно повлияло на науку XX века и продолжает влиять на нее сейчас.

Последнее десятилетие XIX века началось для Кантора чрезвычайно благоприятно. Молодые математики принимали, изучали и применяли его теорию бесконечности, а Рихард Дедекинд тем временем предлагал сделать из теории множеств основу всей математической науки. К этим обстоятельствам добавилось еще одно событие, внушавшее оптимизм: в 1890 году было создано Немецкое математическое общество, и Кантор был избран его первым президентом. Он занимал эту должность до 1893 года.

Появление общества было результатом интенсивной работы, в которой оправившийся от депрессии Кантор принял активное участие и которая совпала с объединением Германии.

В начале XIX века страна в действительности была разделена на 38 политически независимых «государств», у которых, тем не менее, были общий язык, культура и история. Самым сильным из них была Пруссия. Примерно в 1860 году прусский первый министр, «железный канцлер» Отто фон Бисмарк начал процесс объединения, в ходе которого произошли три военных конфликта и были заключены несколько политических союзов. Процесс завершился 18 января 1871 года провозглашением Германской империи, объединенной под короной Вильгельма I, бывшего до этого королем Пруссии.

Тот, кто хоть раз испытал на себе очарование личности Кантора, знает, что он полон проницательности, темперамента, изобретательности и оригинальности.

Артур Мориц Шенфлис (1853-1928), немецкий математик

Однако в конце 1880-х годов Кантор и его коллеги, среди которых знаменитый геометр Феликс Клейн (1849-1925), заметили, что хотя с момента объединения страны прошло уже почти 20 лет, в отдельных регионах еще сохранялась зависть к соседям, мешавшая плодотворному сотрудничеству. Поэтому многие ученые увлеклись идеей создания общества, которое объединило бы всех немецких математиков. Этот проект обрел реальные черты в 1890 году, а Кантор стал первым президентом новой ассоциации.

Открытие Немецкого математического общества состоялось в сентябре 1891 года, и в знак примирения со старым врагом Кантор лично пригласил Кронекера прочитать лекцию.

Тот принял приглашение, но, к сожалению, не смог приехать, так как в августе его жена стала жертвой несчастного случая и спустя месяц умерла. Кронекер пережил ее не намного: его не стало 29 декабря того же года.

В 1890-е годы Кантор, выздоровевший и примирившийся с научным сообществом, возобновил свои математические исследования. Их результатом стала публикация двух статей — последних, которые он отправил в печать при жизни. Первая называлась Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях») и была опубликована в 1892 году в первом ежегодном альманахе Немецкого математического общества.

Вторая статья стала одной из самых известных и была издана в двух частях: первая в 1895-м, а вторая в 1897 году. Обе вышли в журнале «Математические анналы» под заголовком Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre («К обоснованию учения о трансфинитных множествах»).

В диаметре Алеф имел два-три сантиметра, но было в нем все пространство Вселенной, причем ничуть не уменьшенное.

Из рассказа «Алеф» Хорхе Луиса Борхеса

Проанализируем содержание этих статей, но в обратном хронологическом порядке.

Историк Хосе Феррейрос совершенно справедливо утверждает, что теория трансфинитных множеств — это «научное завещание Кантора». Действительно, в этой работе ученый использует все основные понятия своей теории бесконечности, в частности кардинальных и ординальных чисел, и изучает их свойства и взаимоотношения.

Одним из нововведений стало обозначение бесконечных кардинальных чисел (мощностей) алефом, א. Это первая буква еврейского алфавита. Первое бесконечное кардинальное число, соответствующее множеству натуральных чисел, как любое другое счетное множество, Кантор назвал X₀ (читается «алеф-нуль»);

(далее в тексте алеф заменяется на X)

X₁— второе бесконечное кардинальное число, X₂ — третье и так далее. Следовательно, множество всех ординальных чисел первого класса, то есть всех натуральных чисел, имеет мощность X₀ .  Добавив ординалы второго класса, мы получим мощность X₁, третьего класса — множество с мощностью X₂ и так далее (см. рисунок). После этого замечания вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, то есть верно ли предположение Кантора, что промежуточной мощности между мощностью натуральных и вещественных чисел не существует, видоизменяется: равна ли мощность вещественных чисел X₁? (Обратим внимание, что меньшая бесконечная мощность — это X₀, а непосредственно за ней идет X₁ ; мы также знаем, что мощность вещественных чисел не равна X₀ потому что они несчетны; поэтому, если она не равна X₁, единственная альтернатива — что она больше этого значения.)

Каждый раз, добавляя целый следующий класс ординальных чисел, мы непосредственно переходим к следующему кардинальному числу.

Последовательность алефов начинается с X₂ ,X₁ ,X₀,,... Но сколько их всего? Каждому натуральному числу соответствует один алеф и, следовательно, они счетные? На самом деле нижние индексы — ординальные числа. После бесконечного числа X_n, где n — все натуральные числа, идут  X_ω+1, X_ω+1, ..., X_ω+ω, X_ω+ω+1,... и так далее. Значит, ответ на вопрос таков: бесконечных кардинальных чисел столько же, сколько ординальных (всех классов).

В своем «Обосновании» Кантор опирается на работу Дедекинда 1887 года, хотя и не ссылается на нее открыто. Как и Дедекинд, он считает, что натуральные числа — кардиналы конечных множеств, а их сумма получается посредством объединения. Однако Кантор распространил эту идею и на бесконечные кардинальные числа и открыл область, которую назвал трансфинитной арифметикой. С точки зрения теории множеств 1 + 1 = 2 означает, что если мы объединим два разных множества с мощностью каждого, равной 1, то получим множество с мощностью 2. Можно выразить это другим способом, сказав, что если к множеству с мощностью 1 мы прибавим еще один объект, то результатом будет множество с мощностью 2. Следуя логике этих рассуждений, если к натуральным числам (с мощностью X₀ ) прибавить число -1, мы получим множество -1, 0, 1, 2, 3, 4,..., эквивалентное множеству натуральных чисел и, следовательно, имеющее мощность X₀ (напомним, что два эквивалентных множества равномощны). Итак, прибавляя новый объект к множеству мощностью X₀ , мы получим другое множество с мощностью X₀ ; говоря языком трансфинитной арифметики, X₀ + 1 = X₀ (см. рисунок 3).